人教版高中数学必修五同课异构课件111正弦定理探究导学课型

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.了解正弦定理的推导过程.2.理解并掌握正弦定理，能运用正弦定理解决两类解三角形的问题.3.通过正弦定理的学习，体会“数形结合”和“转化与化归”的数学思想.1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即____________________.2.解三角形(1)三角形的元素：三角形的三个内角A，B，C和它们的对边________.(2)解三角形：已知三角形的某些元素求_________的过程.abcsinAsinBsinC正弦a，b，c其他元素1.在△ABC中，a=10，A=120°，b=，则B=()A.30°B.60°C.150°D.90°【解析】选A.由正弦定理得sinB=又0°BA=120°.故B=30°.1033absinAsinBbsinA1a2，2.在△ABC中，A=60°，a=，b=2，那么满足条件的△ABC()A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定【解析】选A.因为b=2，a=，所以ba，而A是锐角.故B是锐角，因此△ABC只有一解.663.在△ABC中，已知B=60°，C=45°，则=.【解析】因为所以答案：bcbcsinBsinC，3bsinBsin6062.csinCsin4522262一、正弦定理根据正弦定理探究以下问题：探究1：在直角三角形与锐角三角形中很容易证明正弦定理，那么在钝角三角形中正弦定理是如何证明的呢？abcsinAsinBsinC提示：在钝角△ABC中(不妨设A为钝角)，如图所示，过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，根据任意角的三角函数的定义有CD=asinB=bsinA，于是同理可得从而absinAsinB，cbsinCsinB，abc.sinAsinBsinC探究2：由正弦定理知是一个与三角形有关的定值，你知道这个定值是什么吗？asinA提示：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，AB=c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，所以sinC=sinB′=所以=2R.同理，可得所以故是该三角形外接圆直径的长.c.2RcsinCab2R2R.sinAsinB，abc2R.sinAsinBsinCasinA【拓展延伸】用向量法证明正弦定理如图(1)，△ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于则j与的夹角为90°，j与的夹角为-B，j与的夹角为+A，设AB=c，BC=a，AC=b.因为所以AB，ABBC2CA2ABBCCA，0ABBCCA0.jjjj0即所以asinB=bsinA，即同理可得：即当△ABC为钝角三角形如图(2)或直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论，请同学们自己证明.ABcosBCcos(B)|CA|cos(A)0.222jjjab.sinAsinBbcsinBsinC，abc.sinAsinBsinC【探究总结】1.对正弦定理的两点说明(1)正弦定理反映了三角形中三条边和对应角的正弦的关系，它的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.(2)正弦定理分式的结构特点：分式连等形式，各边与其所对的角的正弦相比.abcsinAsinBsinC2.正弦定理的常用变形(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.(2)sinA=sinB=sinC=(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.(4)a2R，b2R，c.2Rabcabc.sinAsinBsinCsinAsinBsinC二、正弦定理的应用探究1：根据正弦定理的形式，可以解决哪几类三角形问题？提示：利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.此类问题变化较多，在解题时要分清题目所给的条件.探究2：已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理可能有两解、一解或无解的情况，请根据下表完成填空：A为锐角A为钝角或直角图形A为锐角A为钝角或直角关系式①a=bsinA②a≥b____________________________解的个数_____两解无解一解无解bsinAababsinAaba≤b一解【探究总结】正弦定理的三个应用技巧(1)求边：类似地，还可以写出求a，b，c的其他几个公式.(2)求角：先求出正弦值，再求角，即等类似的公式.(3)相同的元素归到等号的一边：bsinAasinBasinCabcsinBsinAsinA，，，asinBsinAb，bsinAcsinAsinBsinCaa，asinAbsinBcsinC.bsinBcsinCasinA，，类型一已知两角和一边解三角形1.在△ABC中，A=120°，B=30°，a=8，则c=.2.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a，b和B.【解题指南】1.先由三角形内角和定理求出角C，再根据正弦定理求c.2.先根据三角形的内角和定理求得角B，由正弦定理求得a，b.【自主解答】1.因为A+B+C=180°，所以C=30°.又由正弦定理得c=答案：2.因为c=10，A=45°，C=30°.所以B=180°-(A+C)=105°，由得由得=20sin75°=casinCsinA83.3833ac.sinAsinCcsinA10sin45a102.sinCsin30bcsinBsinCcsinB10sin105bsinCsin3062205652.4【规律总结】已知两角和一边解三角形的步骤【变式训练】若△ABC中，a=4，A=45°，B=60°，则边b的值为()【解析】选C.由正弦定理得，故b=A.31B.231C.26D.2234bsin45sin60，26.类型二已知两边及其中一边的对角解三角形1.(2014·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A=,a=1，b=则B=.2.在△ABC中，c=A=45°，a=2，求b和B，C.3，6，6【解题指南】1.根据正弦定理即可求出角B.2.根据正弦定理求得sinC，根据大边对大角，比较csinA与a，c的大小关系，确定解的情况.【自主解答】1.依题意，由正弦定理知得出sinB=.由于0Bπ，所以B=或答案：或13sinBsin6，3232.32332.因为所以sinC=因为csinAac，所以C=60°或120°.当C=60°时，B=75°，当C=120°时，B=15°，所以b=+1，B=75°，C=60°或b=-1，B=15°，C=120°.acsinAsinC，csinA6sin453.a22csinB6sin75b31.sinCsin60csinB6sin15b31.sinCsin6033【规律总结】已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤(1)由正弦定理求另一边的对角.(2)利用三角形内角和定理求第三个角.(3)再由正弦定理求第三边.【变式训练】已知△ABC中，a=4，b=A=30°，则B等于()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°【解析】选D.因为所以sinB=又因为ba，所以BA.所以B=60°或120°.43，absinAsinB，143bsinA32.a42类型三判断三角形的形状1.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，△ABC一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形2.在△ABC中，已知bsinB=csinC，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断三角形的形状.【解题指南】1.先利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，然后借助三角公式即可判断.2.将题设中角之间的关系式转化为边之间的关系，进而判断三角形的形状.【自主解答】1.选D.由正弦定理得又因为acosA=bcosB，即即所以sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=.所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.asinA.bsinBacosBbcosA，sinAcosBsinBcosA，22.设=2R(R≠0)，所以又因为bsinB=csinC且sin2A=sin2B+sin2C.所以且即b2=c2且a2=b2+c2.所以△ABC是等腰直角三角形.abcsinAsinBsinCabcsinAsinBsinC.2R2R2R，，bcbc2R2R222222abc.4R4R4R【规律总结】判断三角形形状的常用方法判断三角形形状的常用方法是化边为角或化角为边.分以下两步：第一步，将题目中的条件，利用正弦定理化边为角或化角为边，第二步，根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系，进而确定三角形的形状.【变式训练】在△ABC中，若，则△ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形abccosAcosBcosC【解析】选B.由，得又，所以所以，所以sinAcosB=cosAsinB，sin(A-B)=0，A=B.同理B=C.所以△ABC是等边三角形.故选B.abcosAcosBacosA.bcosBabsinAsinBasinA.bsinBsinAcosAsinBcosB