人教版高中数学必修五同课异构课件12应用举例121精讲优练课型

1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例——距离问题【知识提炼】基线的概念与选择原则1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.2.选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线_____，测量的精确度越高.越长【即时小测】1.思考下列问题：(1)在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个内角能解出三角形的边长吗？提示：不能.要解一个三角形，至少要知道这个三角形的一条边的长.(2)两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？提示：能.利用测角仪和皮尺测量相关的角、边，利用正、余弦定理求出两点间的距离.2.如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A.a和cB.c和bC.c和βD.b和α【解析】选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC可看作基线，在△ABC中，能够测量到的边角为b，α.3.设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距离是100m，∠BAC=60°，∠ACB=30°，则A，B两点的距离为()A.40mB.50mC.60mD.70m【解析】选B.如图所示，△ABC是直角三角形，AB=AC，所以AB=50m.124.如图，A，N两点之间的距离为__________.【解析】因为M=120°，∠MAN=30°，所以∠MNA=30°，所以MN=MA=40，由余弦定理得AN2=402+402-2×40×40cos120°=4800，解得AN=40.答案：4033【知识探究】知识点距离问题观察图形，回答下列问题：问题1：测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时，利用正弦定理求解需要哪些条件？问题2：测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题，利用余弦定理求解需要哪些条件？【总结提升】1.测量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距离.(2)测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).2.解与三角形有关的应用题的基本思路【题型探究】类型一测量一个可到达点到一个不可到达点之间的距离【典例】1.在相距12海里的A，B两个小岛处测量目标C岛，测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A，C间的距离为()A.2B.6C.2D.466222.如图所示的某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段两侧B，C两点间的距离，在河段的一岸边选取点A，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100m.求B，C两点间的距离.【解题探究】1.典例1中已知条件是什么？可用哪个定理解决？提示：已知三角形的两角和其中一边，应用正弦定理可求解.2.典例2中根据已知条件，可用哪个定理解决？提示：已知两角和一边，可用正弦定理求解.【解析】1.选B.如图所示，由题意知∠C=45°，由正弦定理得所以AC12sin60sin45，3122AC66.222.因为∠CAB=75°，∠CBA=45°，所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°.由正弦定理，得所以BC=ABBC.sinACBsinCABABsin75.sin60又因为sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°所以BC=(m).即B，C两点间的距离为m.123262.22224100621502506433215025063【延伸探究】若典例2中的题设条件不变，求河段的宽.【解析】过点C作CD垂直于AB，垂足为点D，则CD的长就是该河段的宽度.在Rt△BDC中，因为∠BCD=∠CBA=45°，sin∠BCD=BDBC，所以所以该河段的宽度为m.ABsin75BDBCsin45sin45sin6062100250(33)4m.233250(33)3【方法技巧】求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【变式训练】如图所示，为了测量水田的宽度，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC=8m，∠BAC=30°，∠BCA=45°，则水田的宽度为__________.【解析】方法一：过点B作BD⊥AC，在Rt△BDA及Rt△BDC中又AC=AD+CD==8，所以BD=BDBDADCD.tan30tan45，BDBDtan30tan4584(31)(m).31方法二：过点B作BD⊥AC，根据正弦定理得所以AB=所以BD=ABsin30°=×8(-1)=4(-1)(m).答案：4(-1)mABACsinACBsinABC，ACsinACB8sin45428(31)sinABCsin(1803045)624，12333【补偿训练】某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30nmile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为______nmile.【解析】如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，则BC⊥AD，∠DAB=30°，∠DAC=60°，则在Rt△ACD中，DC=ACsin∠DAC=30sin60°=15(nmile)，3AD=ACcos∠DAC=30cos60°=15(nmile)，则在Rt△ADB中，DB=ADtan∠DAB=15tan30°=5(nmile)，则BC=DC-DB=15-5=10(nmile).答案：1033333类型二测量两个不可到达的点之间的距离【典例】1.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC=，∠BAD=，AB=BC=400米，AD=250米，则应开凿的隧道CD的长为______米.3232.如图，现要计算北江岸边两景点B与C的距离.由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD=10km，AB=14km，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求两景点B与C的距离.(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：≈1.414)2【解题探究】1.典例1中测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把距离如何转化？提示：测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题.2.典例2中，求BC的思路是什么？提示：先由余弦定理求出BD的值，然后由正弦定理求出BC.【解析】1.在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC=，所以△ABC为等边三角形，∠BAC=，AC=AB=BC=400，又∠BAD=，故∠CAD=，所以在△ACD中，由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD=4002+2502-2×400×250cos=122500，所以CD=350米.答案：3503323332.在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠BDA，即142=x2+102-20xcos60°.整理，得x2-10x-96=0.解得x1=16，x2=-6(舍去).在△BCD中，由正弦定理，得所以BC=·sin30°=8≈11(km).BCBDsinCDBsinBCD，16sin1352【延伸探究】1.(变换条件)典例1中若把条件“∠ABC=”改为“∠ABC=”，其他条件不变，那么隧道CD的长又该是多少？36【解析】如图：由题意，易得∠DAC=，AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos=4002+4002-2×4002×=4002(2-).46323CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos=2502+4002×(2-)-2×250×400×(-1)×=482500-260000，所以CD≈179米.433222232.(改变问法)典例1中，条件不变，试求∠ADC的余弦值.【解析】如图：在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC=所以△ABC为等边三角形，∠BAC=又∠BAD=故∠CAD=所以在△ACD中，由余弦定理得，,3,3,32,3CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=4002+2502-2×400×250×cos=122500，所以CD=350米.cos∠ADC=3222ADCDAC2ADCD2222503504001.22503507【方法技巧】测量不能到达的两点间的距离的方法及关键(1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个重要的方法.(2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算.【补偿训练】如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为正三角形，且DC=km，当目标出现在B点时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与目标的距离是()A.1.1kmB.2.2kmC.2.9kmD.3.5km3【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.在△BCD中，由正弦定理，得BD=在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°CDsin7562.sin6022(62)6262323523.424所以AB=≈2.9(km).所以炮兵阵地与目标的距离约为2.9km.523巧思妙解图形分析法在求距离问题中的应用【典例】(2015·广州高二检测)在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，3a2∠ACB=45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为__________.【常规解法】由题意知∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°，又因为∠ACD=60°，所以∠DAC=60°.所以AD=CD=AC=在△BCD中，∠DBC=180°-30°-105°=45°，由正弦定理得3a.2BDCDsinBCDsinDBC，所以BD=在△ADB中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB所以AB=a.答案：a62sinBCD3334CDaa.sinDBC242222233333333a(a)2aaa442428，6464【巧妙解法】在△BCD中，∠CBD=180°-30°-105°=45°，由正弦定理得则BC=在△ACD中，∠CAD=180°-60°-60°=60°，所以△ACD为等边三角形.BCCDsin30sin45，CDsin306asin454，因为∠ADB=∠BDC，所以BD为正△ACD的中垂线，所以AB=BC=a.答案：a6464【方法指导】1.寻求特殊图形分析图形的边角之间的关系，确定是否是特殊的图形，如等腰(边)三角形、直角三角形，如果是则利用特殊图形的性质进行求解，这样可以简化运算，使问题的解决更加简洁.2.正确运用定理明确正、余弦定理的实质和定理的内容形式，根据条件正确选用定理及公式.同时：注意将三角形内角和定理、诱导公式及两角和(或差)的正余弦公式结合起来求值.