人教版高中数学必修五同课异构课件12应用举例122探究导学课型

第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题测量高度问题探究：如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，测量建筑物高度AB.探究下列问题：(1)求AB长的关键是求AE，在△ACE中，需求出哪些量？提示：需要求出C点到建筑物顶部A的距离CA和由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.(2)若要求CA的长，需要在△ACD中求出哪些量？提示：需要在△ACD中，求出∠ADC，∠ACD和边DC的长，解三角形可求得CA的长.【探究总结】对测量高度问题的两点说明(1)对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形，把其中不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，然后利用正弦或余弦定理解决即可.(2)对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰角、俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦定理求解即可.类型一测量高度问题1.如图所示，在山根A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山高BC为()A.500mB.200mC.1000mD.1000m222.(2014·上海高考)如图，某公司要在A，B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设A，B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米).(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米).【解题指南】1.根据所给的角求出∠SBA，∠ASB，在△ABS中求出AB，再在Rt△ABC中求出BC.2.(1)在Rt△ADC，Rt△BDC中，根据边角关系可得tanα，tanβ，根据α≥2β，可得tanα≥tan2β，解不等式可得结论.(2)在△ADB中，根据正弦定理可把DB的长度求出，在△BCD中，根据余弦定理可把DC的长度求出.【自主解答】1.选D.因为∠SAB=45°-30°=15°，∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°，所以∠ASB=180°-∠SAB-∠SBA=135°.在△ABS中，AB=所以BC=AB·sin45°==1000(m).21000ASsin1352100021sin302＝，21000222.(1)设CD的长为x米，则因为α≥2β0，所以tanα≥tan2β，所以tanα≥所以解得：0x≤20≈28.28，所以CD的长至多为28.28米.xxtantan3580，，222tan1tan，22x2x160x80x356400x16400，2(2)设DB=a，DA=b，DC=m，∠ADB=180°-α-β=123.43°，则解得a=≈85.06，所以m=所以CD的长约为26.93米.aABsinsinADB，115sin38.12sin123.432280a160acos18.4526.93.【规律总结】解决测量高度问题的一般步骤(1)根据已知条件画出示意图.(2)分析与问题有关的三角形.(3)运用正、余弦定理解相关的三角形.在解题过程中，要综合运用立体几何与平面几何的知识，注意方程思想的运用.【拓展延伸】测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.【变式训练】(2014·焦作高二检测)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东60°方向走10米到位置D，测得∠ADB=45°，则塔AB的高度为()A.10米B.米C.10米D.10米15533226【解析】选B.设塔AB高为x，则BD=x，BC=∠BCD=150°，在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos150°，即x2=x2+100-2··10·cos150°，解得x=3x3，133x315533.2类型二测量角度问题1.从地面上测一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为()A.α+βB.α-βC.β-αD.α2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶，经过t小时小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短的时间与轮船相遇，并说明理由.【解题指南】1.利用仰角、俯角的定义去计算.2.先画出简图，再对照图形理解题意，然后确定各个角度、各条边长(边长有已知的，有用字母表示的)，并尝试用正、余弦定理，函数，不等式的知识解答.【自主解答】1.选C.如图，BC为山高，AB为建筑物，由题意∠AOB=α，∠AOC=β，所以∠BOC=β-α，即山顶的仰角为β-α.2.设小艇航行速度的大小是v海里/小时，如图所示，设小艇与轮船在B处相遇.由余弦定理得：BO2=AO2+AB2-2AO·ABcosA.所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°)，即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0v≤30)，①当0v30时，则Δ=360000+1600(v2-900)=1600(v2-675)，令Δ=0，即1600(v2-675)=0，则v=当0v时，两船不会相遇；当≤v30时，此时t=当t=时，令x=，则x∈[0，15)，153，1531532230020v675v900；2230020v675v9002v675，当且仅当x=0，即v=时，等号成立；当t=时，同理可得综上可得，当≤v30时，t230020x204tx225x153，1532230020v675v90024t33；15323；②当v=30时，可求得t=综合①②可知，当v=30时，t取得最小值，且最小值是此时，在△OAB中，有OA=OB=AB=20，所以可设计方案如下：小艇的航行方向是北偏东30°，航行速度为30海里/小时，此时小艇能以最短的时间与轮船相遇.23；23，【延伸探究】题2中若小艇无最高航行速度限制，其他条件不变.问：(1)若希望相遇时小艇航行距离最小，则小艇航行速度为多少？(2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇，试求小艇航行速度的最小值.【解析】(1)设相遇时小艇航行距离为S，则故当t=时航行距离最小为S=海里，此时(海里/小时)，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时航行距离最小.2222S30t20230t20cos(9030)1900t600t400900(t)3003，13103103v30313303(2)设小艇与轮船在B处相遇如图，由余弦定理OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠OAB得，(vt)2=202+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°)，化简得v2=由于0t≤所以≥2，故当=2时，v取最小值即小艇航行速度的最小值为海里/小时.2240060013900400()675ttt4，12，1t1t1013，1013【规律总结】角度问题的解题思路(1)根据题意和图形及方向角等概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量.(2)从实际问题中抽象出一个或几个三角形，结合图形选择运用正弦定理，还是余弦定理.【变式训练】某人站在山顶看见一列车队向山脚驶去，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A.d1d2B.d1=d2C.d1d2D.不能确定大小【解析】选A.如图所示，由正弦定理得，即PB·sinα=d2sin∠PCB=d1sin∠PAB，又sin∠PABsin∠PCB，所以d1d2.21ddPBPBsinsinPCBsinsinPAB，，