人教版高中数学必修五同课异构课件12应用举例第1课时解三角形的实际应用举例距离问题情

1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例——距离问题BCA1.什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三角形？（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.（2）正弦定理能解决的三角形类型①已知三角形的任意两角及其一边；sinsinsinabc==ABC2.什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三角形？（1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即①已知三边求三角；（2）余弦定理能解决的三角形类型：②已知两边及它们的夹角，求第三边.2222222222cos2cosa=bcbcA；b=acacB；c=ababcosC.+-23.有这样一个问题:遥不可及的月球离地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等不同的方法来解决，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法却不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性.上面介绍的问题就是用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离.1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.(重点、难点)2.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.例1.设A,B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°，求A，B两点间的距离（精确到0.1m）.探究点1关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题解：根据正弦定理，得答：A,B两点间的距离为65.7米.ooooooABAC=sin∠ACBsin∠ABCACsin∠ACB55sin∠ACBAB==sin∠ABCsin∠ABC55sin7555sin75==65.7(m)sin(180-51-75)sin54分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形.ABAC＝sinCsinB一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？【变式练习】≈设点线为则≈为继续继续在ΔASB中，∠SBA＝115°，∠S=45°，由正弦定理得ABsin20°16.1sin20°SB==sin45°sin45°7.787(nmile).S到直AB的距离h,h=SBsin65°7.06(nmile).因h6.5nmile,所以此船可以沿正北方向航行答：此船可以沿正北方解：向航行.例2如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法.AB探究点2关于测量两个都不可到达的点之间的距离的问题分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.AB首先需要构造三角形，所以需要确定C，D两点.用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A，B两点间的距离.CDAB解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在ΔADC和ΔBDC中，应用正弦定理得DCsin()sin180()sin()sin()aACa180asinasinBCsin()sin()计算出AC和BC后，再在ΔABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离222cosABACBCACBC【总结提升】在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例1中的AC，例2中的CD.在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.思考：你还能找出生活中这样的例子吗？基线：ABCD为了测定河对岸两点A，B间的距离,在岸边选定1千米长的基线CD,并测得∠ACD=90o,∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A，B两点的距离.【变式训练】°°°°°°°.22CD23AD==；sin603CDsin606BD==;sin(180-60-75)2AB=AD+BD-2×AD×BD×cos(75-30解)30=6:ABCD1.（2015•广东高考）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a，1sin2B，6Cπ，则b.1【解析】因为1sin2B且0,B，所以6B或56B，又6C，所以6B，23ABC，又3a，由正弦定理得sinsinabAB即32sinsin36b解得1b，故应填入1．2.（2015•重庆高考）在ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______.【解析】由正弦定理得sinsinABADADBB，即23sinsin120ADB，解得2sin2ADB，45ADB，从而15BADDAC，所以1801203030C，2cos306ACAB.63．自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．分析：（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度（2）题目中涉及一个怎样的三角形？CAB最大角度最大角度最大角度最大角度问题转化为：已知△ABC中，AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m.CAB22222oBC=AB+AC-2×AB×AC×cosCAB=1.95+1.40-2×1.95×1.40×cos66203.571所以BC1.89(m)解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。