人教版高中数学必修五同课异构课件12应用举例第2课时解三角形的实际应用举例高度角度问

第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这些方面的问题.2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.(重点)2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.(难点)探究点1测量底部不可到达的建筑物的高度例1AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：如图，求AB长的关键是先求AE，在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.解:选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得asinβAC=sin（α-β）AB=AE+h=ACsinα+hasinαsinβ=+h.sin（α-β）如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离AA0）（精确到1mm）.【变式练习】分析：此题可转化为“已知在△ABC中，BC＝85mm，AB＝340mm，∠ACB＝80°，求AA0．”解：如图,在△ABC中，由正弦定理可得：∠为∠为锐∠∠∠∠''°0.2462.因BCAB,所以BAC角，所以BAC14°15BCsinACBsinBAC=AB85×sin80=340，°-（BAC+A所以CB）85°B=18450.又由正弦定理：答：活塞移动的距离约为81mm．00340sin85sin8034544.3'BsinA=ABCsin∠ACB=≈（mm）.A（340+85）-344A=AC-AC=（AB+BC）-.A3=C80.7（mm）例2如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β=50°1′,已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m).根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？分析:若在ΔABD中求BD，则关键需要求出哪条边呢？那又如何求BD边呢？解：在△ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，BCAB=，sin（α-β）sin（90β）BCsin（90β）BCcosβ所以AB==sin（α-β）sin（α-β）解RtΔABD，得BCc°+°+osβsinαBD=ABsin∠BAD=.sin（α-β）答：山的高度约为150米.把测量数据代入上式，得CD=BD-BC≈177.4-27.3≈150(m)..sin54sin50sin54si140401140177.439n'''''''27.350=27.350cosBD（54）cos=4（m）思考:有没有别的解题思路呢？先在△ABC中，根据正弦定理求得AC.再在△ACD中求CD即可.3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2m的地面上，另一端在沿堤上2.8m的地方，求堤对地面的倾斜角α.(精确到0.01°）【变式练习】答：堤对地面的倾斜角α为63.77°.222°-α.由余弦定理得，1.2+2.8-3.5cos（180°-α）=2×1.2×2.8-0.44棒、石堤及地面构成一角三角形，其角大小182.所以cosα=0.442，所解：以α630.77°钝钝为例3如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高CD(精确到1m).解：在△ABC中，∠A=15°,∠C=25°-15°=10°.根据正弦定理，CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m).答：山的高约为1047米.正确转化为数学模型si7.4524n5sin15sinsin10AB=，ACABABC==C（km）BCsinsin（2015·湖北高考）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=__________m.【变式练习】1006【解析】在ABC中，30,753045,CABACB根据正弦定理知，,sinsinBCABBACACB即6001sin3002,sin222ABBCBACACB所以3tan30021006.3CDBCDBC例4如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01nmile)探究点2测量角度问题分析：首先求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.解：在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，根据正弦定理,sinBCsinsinAC=，CABABCBCABCsinCAB=AC22222cos67.554.0267.554.0cos137113.15AC=ABBCABBCABC=，°0.3255，所以，∠CAB=19.0°54.0si，75°-∠n137=1CAB=5613.15.0°.此船沿北偏56.0°的方向航行，需要航行113.15nml答e.：i应该东解：如图，在△ABC中，由余弦定理得：我舰在敌岛A南偏西50°的方向上，且与敌岛A相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？(精确到1°）ACB40°50°10°【变式练习】所以我舰的追击速度为14海里/小时.22222BC=AC+AB-2AB·AC·cos∠BAC1=20+12-2×12×20×（-）2=784，所以BC=28.答：我舰需以14海里/小时的速度，沿北偏东12°方向航行才能用2小时追上敌舰.ABCACBCsinBsinAACsinA53si3850-3812nBBC14B.又在中，由正弦定理得：，故，所故航行的方向为北偏东以(2015•福建高考)若锐角ABC的面积为103，且5,8ABAC，则BC等于________．7【解析】由已知得ABC的面积为1sin20sin1032ABACAA，所以3sin,(0,)22AA，所以3A．由余弦定理得2222cos49,7.BCABACABACABC1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中加工、抽取主要因素，并进行适当简化.实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明2.实际问题处理3.解三角形在实际测量中的常见应用求距离求高度两点A，B间不可达又不可视两点A，B间可视但不可达两点A，B都不可达底部可达底部不可达三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿