人教版高中数学必修五同课异构课件12应用举例第3课时三角形中的几何计算情境互动课型

第3课时三角形中的几何计算在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？ha＝bsinC＝csinBhb=csinA＝asinChc=asinB＝bsinA1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.(重点)2.三角形各种类型的判定方法.(难点)1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？D探究点1三角形面积公式AaCBcbhahchb111222abcABCab在ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为h,h,h，则有S=ah=bhchc提示:ha＝bsinC＝csinBhb=csinA＝asinChc=asinB＝bsinAAahaCBDcb121121221122cABCab根据以前学过的三角形面积公式S=ah=bhch，可以推导出下面S=absinC，S=bcsinA，S=的三角形面积公式：acsinB.2.如何用已知边和角表示三角形的面积？提示:1在ΔABC中，已知tanB=3，cosC=，AC=36，3求ΔABC的面积?（） 设长别为2AB，BC，CA的分c，a，b31由tanB=3得B=60所以sinB=，cosB=，2222又sinC=1-cosC=，32236×bsinC3由正弦定理得，c===8.sin：，32°B解【即时练习】ΔABC所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC3112232=×+×=+，2323631故S=bcsinA=62+83.2分析：这是一道在不同的已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.例1在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1）:（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°；（2）已知B=62.7°，C=65.8°,b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.cm221（1）用S=casinB21S=×23.5×14.8×sin148.5°90.9（解：cm）2.应得222bcbsinC（2）根据正弦定理，=，c=，sinBsinCsinB11sinCsinAS=bcsinA=b，22sinBA=180°-（B+C）=180°-（62.7°+65.8°）=51.5°，1sin65.8°sin51.5°S=×3.16×4.0（cm）.2sin62.7°(3)根据余弦定理的推论，得应222222222c+a-bcosB=2ca38.7+41.4-27.3=2×38.7×41.40.7697，sinB=1-cosB1-0.76970.6384，1用S=casinB，得21S×38.7×41.4×0.6384511.4（cm）.2(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=()A.5B.5C.2D.1【解析】选B.设AB=c，BC=a，AC=b，因为S△ABC=12acsinB=1212·sinB=12,所以sinB=22,所以B=4或34.当B=4时,经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.所以B=34,使用余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,解得b=5.故选B.【变式练习】例2如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1㎡）分析：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解.CAB解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，0.7532，应222222222c+a-b127+68-88cosB==2ca2×127×68sinB=1-cosB1-0.75320.6578.1用S=casinB，得21S×127×68×0.65782840.4（m）.2这个区积2域的面是2840.答4m：.已知圆内接四边形的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积.【分析】连结BD，将四边形ABCD转化为三角形.【解析】如图，连结BD，设四边形ABCD的面积为S.【变式练习】则S=S△ABD+S△CDB=AB·ADsinA+BC·CDsinC.∵四边形ABCDA+C=180°∴sinA=sinC，cosA=-cosC∴S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA.12121212在△ABDBD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA.在△BCDBD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=62+42+2×6×4cosA=52+48cosA.由BD2=BD220-16cosA=52+48cosAcosA=∴A=120°，∴S=16sin120°=.1283例3在△ABC中，求证：分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理和余弦定理来证明.探究点2三角形边角关系应用222222222a+bsinA+sinB（1）=.csinC（2）a+b+c=2（bccosA+cacosB+abcosC）.证明：（1）根据正弦定理，可设显边边.222222222222abc===ksinAsinBsinC然k≠0，所以a+b左=cksinA+ksinBsinA+sinB==ksinCsinC=右（2）根据余弦定理，右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.（1）acosA=bcosB.判断满足下列条件的三角形的形状.提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”..coscossinA+sinB（2）sinC=AB【变式练习】边该（1）关22222222244222222222由余弦定理得b+c-ac+a-ba×=b×2bc2ca所以c（a-b）=a-b=（a+b）（a-b），所以a=b或c=a+b.根据的系得三角形是等腰三角形或直解：角三角形.另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,即2A=2B,根据边的关系易得是等腰三角形.所以A=B，思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错误？为什么？因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180°，则A+B=90°.前一种解法正确.后一种解法遗漏了一种情况；提示:22222222222222222222222323222323由已知，sinA+sinB=sinC（cosA+cosB），b+c-aa+c-b由正、余弦定理得，a+b=c（+）2bc2acb+c-aa+c-b所以a+b=+，2b2a所以2ab+2ab=a（b+c-a）+b（a+c-b），所以ab+ab=ac-a+bc-b，所以ab+ab-ac（2）+a-bc+b=0所以此三角形为直角三角形.222222222222所以ab（a+b）-c（a+b）+（a+b）（a-ab+b）=0即（a+b）（a+b-c）=0，又a+b≠0，所以a+b-c=0，所以c=a+b，利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并观察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.1．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC一定是（A．等腰三角形BCD．等腰直角三角形A【解析】acosB=bcosA2RsinAcosB=2RsinBcosAtanA=tanBA=B，∴△ABC为等腰三角形.2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【解析】2sinAcosB＝sin(A＋B)＋sin(A－B)，又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B．∴△ABC为等腰三角形．C3.(2015·北京高考)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.【提示】利用正弦定理求解,注意角B的范围.【解析】由正弦定理得=,所以sinB=.因为B∈(0,),所以B=.答案:4.（2014·山东高考）在ABC中，角,,ABC所对的边分别是a,b,c.已知6a3,cosA,BA.32（1）求b的值.（2）求ABC的面积.【解析】（1）由题意知：23sin1cos3AA，6sinsinsincoscossincos2223BAAAA，由正弦定理得：sin32sinsinsinabaBbABA.（2）由余弦定理，得2222126cos43903,33,23bcaAccccbc又因为2BA为钝角，所以bc，即3c，所以132sin.22ABCSacB1.三角形面积公式：2.确定三角形的形状利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.111222S=absinC，S=bcsinA，S=acsinB.3.三角形的面积公式三角形的面积公式1Sp(p-a)(p-b)(p-c)(p(a+b+c))21Sra+b+cr2（）（为内切圆半径）111SabsinCacsinBbcsinA222aa1Sah(ha2表示边上的高）4.解三角形知识结构图解三角形应用举例abcsinAsinBsinC正弦定理：余弦定理222222222abc2bccosAbac2accosBcab2abcosC距离问题高度问题角度问题变形及应用ABC111SabsinCbcsinAacsinB222面积公式：为了向别人，向世界证明自己而努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么.只要你能超越自己。