搜索
第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念及其简单表示和数列的分类，认识数列是反映自然规律的基本数学模型.2.了解数列是一种特殊的函数，了解数列与函数的关系.3.能根据数列的前几项，写出它的一个通项公式.1.数列的概念及一般形式(1)相关概念①数列：按照_________排列的一列数称为数列.②项：数列中的_________叫做这个数列的项，排在_______的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).(2)一般形式数列的一般形式可以写成___________________，简记为____.一定顺序每一个数第一位a1，a2，a3，…，an…{an}2.数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数_____的数列无穷数列项数_____的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列常数列各项_____的数列摆动数列从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限大于小于相等大于3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用_________来表示，那么这个_____叫做这个数列的通项公式.4.数列的表示法数列的表示法有三种，分别是_____法、_____法、_____法.序号n一个式子公式列表图象解析1.已知数列1，…，则是它的()A.第22项B.第23项C.第24项D.第28项【解析】选B.因为，令2n-1=45，得n=23，故是它的第23项.3572n1，，，，，353545352.数列的通项公式为an=则a2·a3等于()A.70B.28C.20D.8【解析】选C.因为a2=2×2-2=2，a3=3×3+1=10，所以a2·a3=20.3n1n2n2n，为奇数，，为偶数，3.数列1，，，…，，…的通项公式是.【解析】数列的通项公式是an=.答案：an=12131n1n1n4.数列在平面直角坐标系中的图象是.【解析】数列在平面直角坐标系中的图象是一群孤立的点.答案：一群孤立的点5.数列{an}的通项公式是an=n(n+1)，则这个数列的第6项是.【解析】这个数列的第6项是a6=6×(6+1)=42.答案：42一、数列的概念如图，观察下列三角形数、正方形数，回答下面的问题：探究1：分别把相应的数写下来，得到怎样的一列数？提示：三角形数构成的数列是：1，3，6，10，…正方形数构成的数列是：1，4，9，16，…探究2：把部分三角形数和正方形数随意打乱，如：1，1，10，16，3，4，6，是否构成一个数列？提示：这些数按照一定的顺序排列，能构成一个数列.【拓展延伸】数列与数集的区别与联系(1)区别：①数列主要研究项与项数之间的关系，数集主要研究集合中元素公共的性质.②数集中元素有三个性质：确定性、无序性和互异性；数列中的项也有三个性质：确定性、可重复性和有序性.(2)联系：数列中的项与数集中的元素都是数，都体现对数之间关系的研究.【探究总结】对数列概念的三点说明(1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数an，而项数是指这个数在数列中的位置序号.(2)同一个数在数列中可以重复出现.(3)两个数列相同，需要各项相同且排列顺序相同.二、数列的分类及其表示方法观察下列几组数列，探究下列问题①1，2，3，…，n②1，2，3，…，n，…③2，2，2，…④1，，，，…，⑤6，-6，6，-6，…12131412014探究1：这五个数列，按项的个数来分，可以把数列分为几类？提示：从项数的多少可以把数列分为两类：有穷数列如①④和无穷数列如②③⑤.探究2：按项的大小可以把数列分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列，请指出以上各数列各属于哪一种类型？提示：①②是递增数列，③是常数列，④是递减数列，⑤是摆动数列.【探究总结】数列分类的关注点(1)注意数列是按照不同的分类标准分成不同类别，一个数列可以是递增数列且是无穷数列.(2)按照项的大小关系分类也可以看成数列的增减性.三、数列的通项公式及其与函数的关系探究1：观察如图的对应关系，思考an和n之间是否构成一个映射关系，是否构成一个函数关系？提示：根据映射和函数的概念，an和n之间构成一个映射，也构成一个函数关系，并且构成了从N*到{f(n)|n∈N*}的特殊映射和函数.探究2：根据所给的几个数列的通项公式，探究下列问题：①an=n，②an=(-1)n，③an=(1)是否所有的数列都有通项公式，并且一个数列只有一个通项公式？提示：并不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式形式上不一定是唯一的，如②和③表示的是同一个数列.1n1n.，为奇数，，为偶数(2)通项公式an=f(n)的作用是什么？提示：通项公式an=f(n)中n代表项数，an代表项，因此，通过数列的通项公式能够知道数列中的指定项，同时也知道任意一项在该数列中的准确位置.【探究总结】1.数列的函数性质的关注点(1)数列的定义域为N*或者它的有限子集{1，2，3，…，n}.(2)数列的值域是一些孤立的实数组成的集合.(3)数列的对应关系一般是其通项公式.2.数列与函数的关系(1)数列作为特殊的函数，它具有函数的通性，定义域、值域、对应关系.(2)数列是特殊的函数，其定义域是N*或者它的有限子集{1，2，3，…，n}，故数列对应的图象是一列孤立的点.(3)数列的单调性和函数的单调性一致，可以用函数的单调性来研究数列的单调性.类型一数列的概念及其分类1.分别写出下列数列：(1)不大于10的自然数按从小到大的顺序组成的数列为.(2)-2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂…构成的数列为.2.下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由.(1)-3，-1，1，x，5，7，y，11.(2)无理数.(3)正有理数.【解题指南】1.按照要求的次序写出各个数即可.2.根据数列的定义判断每组元素能否构成数列.然后再根据数列的项数的个数来判断是否是有穷数列.【自主解答】1.(1)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.(2)-2，22，-23，24，….答案：(1)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10(2)-2，22，-23，24，…2.(1)当x，y代表数时为数列，此时是有穷数列；当x，y中有一个不是数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数，按一定的顺序排列所组成的.(2)不是数列，因为我们无法把所有的无理数按一定顺序排列起来.(3)是数列，且是无穷数列.如我们可将有理数按下面顺序排列起来：1123134125354512345.23324435525354，，，，，，，，，，，，，，，，，，，【规律总结】处理数列概念问题的注意点(1)注意数列中的顺序性，不同的顺序的数排成一列，构成不同的数列，故书写数列时注意数的顺序.(2)数列的分类是依据不同的标准，同一个数列可能既是无穷数列又是递增数列.【变式训练】写出下列数列：(1)全体自然数按从小到大排成一列.(2)正整数1，2，3，4，5的倒数排成一列.(3)π精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排成一列.【解析】(1)0，1，2，3，….(2)1，(3)3，3.1，3.14，3.141，….1111.2345，，，类型二数列与函数问题1.已知数列{an}的通项公式an=2n-，则此数列为()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2.已知函数f(x)=设an=f(n)(n∈N*).(1)求证：an1.(2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？53x1x，【解题指南】1.根据an+1-an的值判断.2.(1)根据an=f(n)(n∈N*)证明.(2)利用an+1-an与0的大小判断.【自主解答】1.选A.由an=2n-，可得an+1-an=2，故此数列为递增数列.2.(1)因为an=f(n)=又n∈N*，所以0，即-0，因此an1.(2)递增数列.因为an+1-an=所以an+1-an0，即an+1an，所以{an}是递增数列.53n111nn，1n1n1111(1)0n1nnn1，【延伸探究】题2条件不变，写出数列{an}的前4项.【解析】由得nn11afn1nN*nn，12111a10a1122；；341213a1a1.3344；【规律总结】函数的性质在数列中的应用(1)数列是特殊的函数，数列的项数和项类似于函数的定义域和值域中的元素，通项公式类似于函数解析式.(2)可以利用研究函数的方法研究数列的相关性质，如单调性，但要注意数列中定义域为从1开始的无穷多正整数集或其一部分组成的集合.【拓展延伸】函数法研究数列的单调性(1)定义法，先设出数列对应的函数，然后可以利用证明函数单调性的定义法判断数列的单调性.(2)作差法，对an+1-an进行符号判断，若恒大于零，则是递增数列，恒小于零是递减数列.(3)作商法，即判断与1的大小关系，类似于研究函数的单调性问题.n1naa类型三数列的通项公式1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，-，，-的通项为.(2)2，0，2，0的通项为.(3)1，3，5，7的通项为.(4)的通项为.2222213141512345－－－－，，，1213142.根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项和第2013项.(1)an=cos.(2)an=3n+2n.n2【解题指南】1.(1)正负相间，去掉符号后是正整数的倒数.(2)可借助于正弦值的特点来写通项公式.(3)正整数中的奇数.(4)根据分数的特点分别写出通项公式的分子和分母.2.把要求的项数值依次代入.【自主解答】1.(1)正负相间由(-1)n+1确定，去掉符号后为正整数的倒数，即(2)由于2，0隔项相同，根据正弦值的特点得：(3)奇数的表达形式：an=2n-1.(4)分母、分子变化的数均为项数加1，即答案：(3)an=2n-1(4)n1n1a.nnna2|sin|.22nn11a.n1n+1nn1nπ1a=2a=2|sin|n2－2nn11an1－2.(1)数列的前5项分别是：0，-1，0，1，0；第2013项是a2013=(2)因为an=3n+2n，数列的前5项分别是：a1=3+2=5，a2=3×2+22=10，a3=3×3+23=17，a4=3×4+24=28，a5=3×5+25=47.a2013=3×2013+22013=6039+22013.2013cos0.2【规律总结】求数列通项公式的两个关注点(1)一个数列的通项公式有时不唯一.如1，0，1，0，1，0，1，0，…，它的通项公式可以是也可以是(2)通项公式的作用：①求数列中的任意一项；②检验某数是不是该数列中的项，并确定是第几项.n1n11a2－，nn1a|cos|.2【变式训练】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式.(1)1，0，-1，0，1，0，-1，0，…(2)(3)7，77，777，7777，…(4)-1，7，-13，19，-25，31，…2345638152435－，，－，，－，【解析】(1)an=(2)各项负正相间，观察分子分母的特点，分子为项数加1，分母为分子相应平方数减1，故(3)利用10n-1的特性，可以得到an=(10n-1).(4)各项负正相间，去掉符号后，后项与前项的差为6，可写成6n-5，故an=(-1)n(6n-5).nsin.2nn2n1a(1).n11－－79