人教版高中数学必修五同课异构课件21数列的概念与简单表示法212探究导学课型

第2课时数列的通项公式与递推公式1.会根据数列的通项公式，解决简单的数列问题.2.体会递推公式是数列的一种表示法，并能根据递推公式写出数列的前几项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法.数列的递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项____(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.an-11.已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+1(n≥2)，则a5=()A.7B.15C.20D.31【解析】选D.因为a1=1，an=2an-1+1(n≥2)，所以a2=3，a3=7，a4=15，所以a5=2a4+1=31.2.数列{an}中，a1=-1，an+1=an-2，则a3=.【解析】因a1=-1，an+1=an-2.所以a2=-1-2=-3，a3=a2-2=-3-2=-5.答案：-53.数列{an}中a1=3，an+1=an+4，则它的第5项是.【解析】a1=3，an+1=an+4，则a2=7，a3=11，a4=15，a5=19.答案：19数列的递推公式已知一个数列的首项为a1=a，从第二项起每一项都等于它的前一项的b倍再加c，即an=ban-1+c，该式子体现了相邻两项之间的关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题：探究1：根据数列的递推公式如何求数列中的项？提示：根据数列的递推公式，只需将初始值代入递推公式，就可依次求出数列中的其他项.探究2：若仅由数列{an}的递推关系an=ban-1+c(n≥2，n∈N*)，能否确定数列{an}的每一项？提示：仅由数列{an}的递推关系an=ban-1+c(n≥2，n∈N*)，只能确定数列{an}中相邻两项之间的关系，而无法确定数列中的每一项.而要想确定数列中的每一项，还需知道数列的第一项或前几项.探究3：数列的通项公式和递推公式能否互相转化？提示：数列的通项公式和递推公式一般可以相互转化.但有些递推公式求不出通项公式，故数列的通项公式和递推公式并不一定能互相转化.【探究总结】数列递推公式与通项公式的区别与联系区别联系通项公式项an是序号n的函数式an=f(n)都是数列的一种表示方法递推公式项an与数列的其他项或多项的关系式类型一数列通项公式的应用1.数列{an}的通项公式为an=3n2-28n，则数列{an}各项中最小项是()A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项2.数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4(n∈N*)，问：(1)数列中有多少项为负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.【解题指南】1.用函数的观点看待通项公式，是开口向上的抛物线，越接近对称轴的函数值越小.2.数列的通项公式an与n是函数关系，本题为二次式，需结合二次函数知识探求，当然不能忘记n的取值范围.【自主解答】1.选B.由an=3n2-28n=又n为正整数，故当n=5时an取最小值.2.(1)由an为负数，得n2-5n+40，解得1n4.因为n∈N*，所以n=2，3.故数列有两项为负数.(2)因为an=n2-5n+4=，所以对称轴为n==2.5.又因n∈N*，故n=2或3时，an有最小值.其最小值为22-5×2+4=-2.2141963(n)33－－，259(n)2452【规律总结】数列最大项或最小项的求法(1)利用单调性，确定n的取值或范围，从而确定最大或最小项.(2)通过解不等式组(n∈N*，n1)求出最大项是第几项；通过(n∈N*，n1)求出最小项是第几项.nn1nn1aaaa，nn1nn1aaaa，【变式训练】已知数列{an}的通项公式为则当an取得最大值时，n等于.【解析】由题意知所以解得所以n=5或6.答案：5或6nn7an2()8＝＋，nn1nn1aaaa，，nn1nn177n2()n1()8877n2()n3().88，n6n5.，类型二由递推公式求数列的项1.根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前5项为.2.数列{an}中，a1=1，对所有的n2都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于()A.B.C.D.3.已知数列{an}中，a1=1，an+3≤an+3，an+2≥an+2，求a2013.611625925193115【解题指南】1.阅读框图，得到递推公式，求出前5项.2.根据已知，写出a1·a2·…·an-1=(n-1)2，可以求出an.3.利用递推关系推导2013≤a2013≤2013.【自主解答】1.根据框图，数列的递推公式为数列的前5项依次为：1，答案：1，n1nn11a2a2a3(2n10nN*)a1－－，，，31355233.52189377，，，3135523352189377，，，2.选A.因为a1·a2·…·an=n2，所以a1·a2·…·an-1=(n-1)2，所以an=(n≥2)，所以所以2n()n135925aa.416＝，＝3561aa.16＋＝3.由an+2≥an+2得a2013≥a2011+2≥a2009+2×2≥…≥a1+2×1006=2013，由an+2≥an+2得an≤an+2-2，又an+3≤an+3得an+3≤an+3≤an+2+1，于是a2013≤a2012+1≤a2011+2×1≤a2010+3×1≤a2009+4×1≤…≤a1+2012×1=2013，所以a2013=2013.【规律总结】已知递推公式求数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.若数列前几项各项间规律明显，可归纳出一个通项公式，然后再代入通项公式求数列中的每一项.【变式训练】(2014·巢湖高二检测)在各项均为正数的数列{an}中，任意m，n∈N*都有am+n=am·an.若a6=64，则a9等于()A.256B.510C.512D.1024【解析】选C.在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*都有am+n=am·an.所以a12=a6·a6=642，又a6=a3·a3，所以a3=8，所以a12=a9·a3，解得a9==512.2648类型三利用递推公式研究数列1.已知{an}中，a1=1，则数列{an}的通项公式是()A.an=2nB.an=C.an=D.an=n1na1a2＝，12nn11221n2.已知数列{an}满足：a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)·an-1(n≥2)，则{an}的通项an=3.已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an，写出数列的前4项，猜想数列的通项公式并加以证明.1n1n2.，，________，【解题指南】1.写出数列的前几项，观察得出数列的通项公式.2.利用方程进行等价转化找数列{an}的项an与前一项an-1之间的关系.3.根据递推公式可以逐个写出前4项，用累乘法证明.【自主解答】1.选C.a1=1，a2=，a3=，a4=，观察得an=2.由已知得：an=a1+2a2+…+(n-2)an-2+(n-1)an-1(n≥2)，an-1=a1+2a2+…+(n-2)an-2(n≥3).两式相减得：an-an-1=(n-1)an-1(n≥3)，所以an=n·an-1，即=n(n≥3)，121418n11.2nn1aa所以=3×4×5×…×(n-1)×n，所以(n≥3).又因为a1=1，a2=a1=1，所以an=(n≥2).答案：354n1n234n2n1aaaaaaaaaan2ana2！n2！n2！3.由a1=2，an+1=2an，得a2=2a1=4=22，a3=2a2=2·22=23，a4=2a3=2·23=24，猜想an=2n(n∈N*).证明如下：由a1=2，an+1=2an，得所以=2·2·…·2·2=2n.3nn12n1n221aaaa2(n2).aaaa3nn12n1n1n221aaaaaaaaaa【规律总结】由递推公式求数列的通项公式的两种方法(1)观察归纳法：①根据递推公式，求出数列的前几项；②通过前几项观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变，初步归纳出公式；③取n的特殊值进行检验，判断得到的通项公式是否正确.(2)递推公式法：①观察数列相邻两项间的递推关系，将它们一般化；②得到数列的普遍的递推关系；③通过代数方法由递推关系求出通项公式.【变式训练】设数列{an}，a1=0，an+1=，写出数列的前4项，并归纳出该数列的一个通项公式.【解析】a1=0，直接观察可以发现a3=可写成a3=，这样可知an=(n≥2).当n=1时，=0=a1，所以an=nn1a3a122312111a1a113aa.13a33a233，343111a32a.13a5322412n1n11111n1.n1