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2.2等差数列第1课时等差数列1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念并能运用.1.等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列.(2)公差：这个_____叫做等差数列的公差，通常用字母__表示.(3)通项公式：an=_________.2.等差中项若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，并且A=______.ab2同一个常数常数da1+(n-1)d1.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1，则它的公差为()A.2B.-2C.3D.-3【解析】选A.d=an-an-1=(2n-1)-[2(n-1)-1]=2.2.已知a=1，b=3，则a，b的等差中项为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.ab132.223.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n，则a1+a2=.【解析】因为an=3-2n，所以a1=3-2=1，a2=3-2×2=-1，故a1+a2=0.答案：04.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89的项数为.【解析】因为a1=1，d=-1-1=-2，所以an=a1+(n-1)d=-2n+3.由-2n+3=-89，得n=46.答案：46一、等差数列的概念观察下列几个实例，探究以下问题(1)2，4，6，8，10，12，…(2)1，1，1，1，1，1，…(3)1，3，5，7，9，11，…探究1：请观察(1)～(3)中的数列，它们中的每个数列从第二项起每一项与前一项的差是否都相等？提示：观察这三个实例可以看出，(1)(3)中的差都是2，(2)中的差是0.因此上述几个数列从第二项起每一项与前一项的差都相等.探究2：在探究1的基础上，你能用数学符号表示它们之间的关系吗？提示：可表示为an+1-an=d(d为常数，n∈N*).探究3：根据等差数列的定义，思考是否所有的常数列都是等差数列？提示：是，根据等差数列的特点知，所有的常数列都是等差数列.【探究总结】理解等差数列定义时的三个注意点(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件.这一条件有两层意义，其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个，其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻.(3)注意定义中的“同一个常数”这一点可理解为每一项与前面一项的差是常数且是同一个常数.二、等差数列的通项公式及等差中项结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，探究下列问题：探究1：利用数列的通项公式如何建立数列任意两项之间的关系.提示：在等差数列{an}中，若m，n∈N*，则an=am+(n-m)d.推导如下：因为对任意的m，n∈N*，在等差数列中，有am=a1+(m-1)d，①an=a1+(n-1)d，②由②-①得an-am=(n-m)d，所以an=am+(n-m)d.探究2：若A=，则a，A，b是否成等差数列？若一个数列任意相邻的三项具有这种关系，结果怎样？提示：若A=，则a+b=2A，A-a=b-A，则a，A，b成等差数列，反之也成立.若an+1=(an+an+2)，则an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项，由n的任意性可得，数列{an}是等差数列.ab2ab212【探究总结】1.对等差数列通项公式的三点说明(1)利用通项公式可以求出首项与公差.(2)可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项.(3)若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.2.等差中项的注意点(1)等差中项A=⇔a，A，b成等差数列.(2)用等差中项：an+1=(an+an+2)可以证明一个数列为等差数列.ab212【拓展延伸】用函数的观点理解等差数列的通项公式(1)将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时).(2)an=dn+(a1-d)的图象是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d=(n≠m).nmaanm－－类型一等差数列的定义1.给出下列数列，其中是等差数列的是.(1)0，-3，-6，-9，-12，….(2)1，-1，1，-1，1，-1，….(3)6，6，6，6，….(4)6，5，3，1，-1，-3，….2.已知cn=试判断数列{cn}是否为等差数列.1n12n5n2，，－，，【解题指南】1.验证从第二项起，每一项与其前一项的差是否等于同一个常数.2.分段函数要分别计算每一项与其前一项的差是否等于同一个常数.【自主解答】1.(1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数-3，所以是等差数列.(2)因为-1-1=-2，1-(-1)=2，不是同一个常数，所以该数列不是等差数列.(3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，所以是等差数列.(4)因为5-6=-1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是一个等差数列.答案：(1)(3)2.因为c2-c1=-1-1=-2，cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).所以cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数，不符合等差数列的定义.所以{cn}不是等差数列.【规律总结】利用等差数列定义判定数列的步骤(1)求第二项与第一项的差(常数).(2)验证以后每一项与其前一项的差等于同一个常数.(3)根据等差数列的定义，判定该数列是否为等差数列.【变式训练】给出下列数列，其中是等差数列的是.(1)1，2，4，6，8，….(2)0，0，0，0，….(3)3，6，9，12，….【解析】(1)因为2-1=1，4-2=2，故该数列不是等差数列.(2)因为0-0=0-0=…=0，所以是等差数列.(3)因为6-3=9-6=12-9=…=3，所以是等差数列.答案：(2)(3)类型二等差数列通项公式的应用1.(2014·重庆高考)在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=()A.5B.8C.10D.142.(2015·大连高二检测)已知等差数列{an}中，a1a2a3…an且a3，a6为方程x2-10x+16=0的两个实根.(1)求此数列{an}的通项公式.(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由.【解题指南】1.根据题设条件求出公差，进而可求出a7的值.2.(1)由于数列{an}是等差数列，只要确定它的首项a1及公差d的值，将其代入通项公式中，即可得an.(2)268是否为该等差数列中的项，关键点是看an=268是否有正整数解.【自主解答】1.选B.设公差为d，因为a1=2，所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10，解得d=1，所以a7=a1+6d=2+6=8.2.(1)因为即解得故an=-2+2(n-1)=2n-4.3636aa10aa16，，1111a2da5d10a2da5d16，，1a2d2.，(2)268是此数列中的项.令an=2n-4=268得2n=272，故n=136.因此268是此数列中的136项.【规律总结】求等差数列通项公式的四个步骤【变式训练】已知等差数列{an}中，a10=29，a21=62，试判断91是否为此数列中的项.【解析】设该等差数列的公差为d，则有a10=a1+9d=29，a21=a1+20d=62，解得a1=2，d=3.所以an=2+(n-1)×3=3n-1.令an=3n-1=91，得n=∉N*.所以91不是此数列中的项.923类型三等差中项的简单应用1.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为()A.1B.2C.3D.42.已知a，b，c成等差数列，那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差数列？【解题指南】1.由根与系数的关系得两根之和，进而求其等差中项.2.已知a，b，c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b，然后要证a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差数列，可考虑等差中项的定义、性质及条件a+c=2b.【自主解答】1.选C.设方程x2-6x+1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=6.所以其等差中项为2.因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b，又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0，所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a)，所以a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差数列.12xx3.2【规律总结】1.等差中项的两个注意点(1)唯一性：任意两个常数存在唯一的等差中项.(2)任意性：等差数列中不连续的三项，如ak-s，ak，ak+s中，ak是ak-s与ak+s的等差中项，因为其下标k-s，k，k+s成等差数列.提醒：等差数列中项的下标成等差数列，相应项也成等差数列.2.证明或判断一个数列是等差数列的常用方法(1)定义法：利用an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N*)等价于{an}是等差数列.(2)等差中项法：2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*)等价于{an}是等差数列.【变式训练】已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9【解析】选B.由题意得所以m+n=6，所以m，n的等差中项为3.m2n82mn10，，