人教版高中数学必修五同课异构课件22等差数列222精讲优练课型

第2课时等差数列的性质【知识提炼】1.等差数列的项与序号的关系两项关系an=am+_______(n，m∈N*)多项关系若{an}为等差数列，且m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则__________(n-m)dam+an=ap+aq2.等差数列的对称性在有穷等差数列{an}中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1+an=______=______=…a2+an-1a3+an-23.等差数列的“子数列”的性质已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成首项为____，公差为__的等差数列.(2)奇数项数列{a2n-1}是公差为___的等差数列.偶数项数列{a2n}是公差为___的等差数列.(3)若数列{kn}是等差数列，则数列{}也是等差数列.nkaam+1d2d2d4.等差数列的单调性等差数列{an}的公差为d，(1)当d0时，数列{an}为_____数列.(2)当d0时，数列{an}为_____数列.(3)当d=0时，数列{an}为___数列.递增递减常【即时小测】1.判断(1)若数列{an}为等差数列，则an+1=an-1+2d，n1，且n∈N*.()(2)若{an}为等差数列，且m+n=p(m，n，p∈N*)，则am+an=ap.()(3)取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差数列且其公差为原数列公差的两倍.()【解析】(1)正确.由等差数列中任意两项的关系知an+1=an-1+2d.(2)错误.因为am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d，m+n=p，所以am+an=2a1+(m+n-2)d=2a1+(p-2)d，又因为ap=a1+(p-1)d，所以要使am+an=ap，还须有a1+(p-1)d=2a1+(p-2)d，即a1=d.所以若{an}为等差数列，且m+n=p(m，n，p∈N*)，则am+an=ap不一定成立.(3)正确.根据等差数列的定义可以判定.答案：(1)√(2)×(3)√2.等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1，5a2，5a3，…，5an是()A.公差为d的等差数列B.公差为5d的等差数列C.非等差数列D.以上都不对【解析】选B.5an+1-5an=5(an+1-an)=5d，n∈N*.所以5a1，5a2，5a3，…，5an是公差为5d的等差数列.3.等差数列{an}中，a100=120，a90=100，则公差d等于()A.2B.20C.100D.不确定【解析】选A.因为a100-a90=10d，所以10d=120-100=20，所以d=2.4.等差数列{an}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=______【解析】由等差数列的性质可得a3+a5=a2+a6=5+33=38.答案：385.已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a22-4，则an=________.【解析】设等差数列的公差为d，因为a3=a22-4，所以1+2d=(1+d)2-4，解得d2=4，即d=±2.由于该数列为递增数列，故d=2.所以an=1+(n-1)×2=2n-1.答案：2n-1【知识探究】知识点1等差数列通项公式的推广观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：等差数列通项公式的推广形式是什么？如何证明？问题2：等差数列通项公式的推广形式的几何意义是什么？【总结提升】等差数列通项公式的推广形式(1)公式的证明设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+(n-1)d，am=a1+(m-1)d，两式相减得an-am=(n-m)d，即an=am+(n-m)d.(2)公式的理解等差数列{an}的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点，任选其中两点(n，an)(m，am)(m≠n)，类比直线的斜率公式可知公差nmaad.nm知识点2等差数列的性质观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：如何证明上图中的性质1？问题2：等差数列还有哪些常用结论？【总结提升】1.等差数列中四项关系的性质及证明(1)若等差数列{an}中，m，n，p，q∈N*且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.证明：设等差数列{an}的公差为d，am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d，ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d，因为m+n=p+q，所以am+an=ap+aq.(2)若am+an=ap+aq，则m+n=p+q不一定成立.例如，公差为0时，总有am+an=ap+aq，m+n=p+q不一定成立.2.等差数列几个常用的结论若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：(1){c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列.(2){c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列.(3){ank}(k∈N*)是公差为kd的等差数列.【题型探究】类型一等差数列中任意两项关系的应用【典例】1.(2015·邢台高一检测)数列{an}中，a3=2，a7=1，又数列{}是公差为d的等差数列，则a8=()A.B.0C.D.-1n1a11113232.数列{an}是公差为-2的等差数列，且a1+a4+a7+…+a28=100，求a3+a6+a9+…+a30的值.【解题探究】1.典例1中，等差数列{}的公差如何计算？要求a8须先求什么？提示：由a3=2，a7=1可求等差数列{}的第3项和第7项，进而求出4倍的公差.要求a8须先求n1a1n1a181.a12.典例2中，a1+a4+a7+…+a28与a3+a6+a9+…+a30的项数有什么关系？取值有什么关系？提示：a1+a4+a7+…+a28与a3+a6+a9+…+a30的项数相同，都是10项.a3+a6+a9+…+a30=a1+a4+a7+…+a28+20d.【解析】1.选A.因为所以所以所以an=.所以a8=73114d,a1a11d.24n311n5(n3)da1a124，19nn519811.85132.因为数列{an}是公差d=-2的等差数列，所以a3+a6+a9+…+a30=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a28+2d)=(a1+a4+a7+…+a28)+2d×10=100+(-2)×20=60.【方法技巧】1.运用等差数列任意两项的关系可解决的两类问题(1)在已知公差的情况下，由等差数列的某项求其他任意项.(2)由等差数列的任意不同两项计算公差.2.关注多项相加式之间的关系(1)等差数列{an}的相邻k项的和仍为等差数列，如a1+a2，a2+a3，a3+a4，…，an-1+an，…成等差数列；a1+a2，a3+a4，a5+a6，…，an+an+1，…成等差数列；a1+a2+…+am，a2+a3+…+am+1，a3+a4+…+am+2，…，ak+ak+1+…+ak+m-1…成等差数列等.(2)注意分析等差数列两个k项的和之间的关系，如a3+a6+a9+…+a30与a1+a4+a7+…+a28同为10项的和，a3+a6+a9+…+a30=(a1+a4+a7+…+a28)+2d×10.【变式训练】1.等差数列{an}中，am+n=α，am-n=β，则其公差d的值为()A.B.C.D.2n2n2m2m【解析】选B.由题意得am+n=a1+(m+n-1)d=α，am-n=a1+(m-n-1)d=β，两式相减得2nd=α-β，所以d=.2n2.数列{an}是等差数列，ap=q，aq=p(p，q∈N*，且p≠q)，求ap+q.【解题指南】此题关键是求出公差d，然后利用an=am+(n-m)d，就可求ap+q了.【解析】方法一：设公差为d，则有所以ap+q=ap+[(p+q)-p]·d=q-q=0.pqaaqpd1pqpq，方法二：设公差为d，则由①-②，得q-p=(p-q)d.所以d=-1，a1=p+q-1.所以ap+q=a1+(p+q-1)(-1)=p+q-1-p-q+1=0.p1q1aa(p1)daa(q1)d.，①②类型二等差数列性质的应用【典例】1.(2015·陇南高二检测)已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1=3，b1=-3，且a19-b19=16，那么a10-b10的值为()A.-6B.6C.0D.112.(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=________.3.已知等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，a5·a6·a7=45，求数列{an}的通项公式.【解题探究】1.典例1中，数列{an-bn}是等差数列吗？a1-b1，a10-b10，a19-b19之间有什么关系？提示：数列{an-bn}是等差数列.(a1-b1)+(a19-b19)=2(a10-b10).2.典例2中，观察a3+a4+a5+a6+a7与a2+a8项的序号，可由等差数列的性质得到什么结论？提示：a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.3.典例3中，可先计算出a5，a6，a7的哪一项？另外两项的值如何计算？提示：可先计算出a6，另外两项的值可列方程组进行计算.【解析】1.选D.因为{an}，{bn}是两个等差数列，所以{an-bn}是等差数列，所以(a1-b1)+(a19-b19)=2(a10-b10)，又因为a1-b1=3-(-3)=6，a19-b19=16，所以2(a10-b10)=6+16=22，故a10-b10=11.2.因为{an}是等差数列，所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25，解得a5=5，所以a2+a8=2a5=10.答案：103.因为a5+a6+a7=15，所以3a6=15，a6=5.所以解得或当a5=1，a7=9时，d=4，通项公式an=a5+(n-5)d=1+(n-5)×4=4n-19；当a5=9，a7=1时，d=-4，通项公式an=9+(n-5)×(-4)=-4n+29.5757aa10aa9，，57a1a9，57a9a1.，【延伸探究】若典例1中将条件改为等差数列{an}，{bn}满足a3+b3=13，a5+b5=25，试求a7+b7.【解析】设cn=an+bn，由题意知新数列{cn}仍为等差数列，且c3=13，c5=25，又因为2c5=c3+c7，所以c7=2c5-c3=2×25-13=37，即a7+b7=37.【方法技巧】等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am+an=ap+aq=2ar.【变式训练】已知数列{an}为等差数列，且满足a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+…+a14=77，ak=13，求k的值.【解析】因为a4+a10=2a7，a4+a14=a5+a13=a6+a12=a7+a11=a8+a10=2a9，所以3a7=17，11a9=77，所以a7=，a9=7.则等差数列{an}的公差d=所以，an=a9+(n-9)×=n+1，所以ak=k+1=13，所以k=18.17397aa2.973232323【补偿训练】已知等差数列{an}，(1)若a1+a5+a9=6，求a5.(2)若a7+a8+a22+a23=28，a7a23=40，求公差d.【解析】(1)因为a1+a9=2a5，所以a1+a5+a9=3a5=6，所以a5=2.(2)因为a7+a23=a8+a22，所以a7+a8+a22+a23=2(a7+a23)=28.解得a7+a23=14.又已知a7a23=40，联立解得a7=4，a23=10或a7=10，a23=4.当a7=4，a23=10时，d=当a7=10，a23=4时，d=所以公差d为或-.237aa32378