人教版高中数学必修五同课异构课件22等差数列第2课时等差数列的性质情境互动课型

第2课时等差数列的性质*n+1n（一）等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等差数列.等于同一个常数，那么这个数列就叫做a-a=d(n∈N)（二）等差中项的概念由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项.n1nm（三）等差数列的通项公式a=a+(n-1)d推导方法：迭加法.推广的通项公式：a=a+(n-m)d.1.理解等差数列、等差中项的概念，会用定义判定一个数列是否是等差数列.(重点）2.进一步加深对等差数列通项公式的理解、认识和应用.（难点）3.掌握等差数列的有关性质．N在等差数列中，若则探究等差数列的性质特别地：若则思考：若，则成立吗？1.,,,,,,2,2.33nmnpqmnppqnmamnpqmnpqaaaamnpaaapqnmaaaa提示：成立.若是公差为的等差数列则和也是等差数列.2212.,nnnadaa思考：在上述两个数列中，首项和公差各是多少？22211,2;,2.数列的首项是公差是数列的首项是提示：公差是nnaadaad(2015·重庆高考)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6【解析】选B.因为数列{an}为等差数列,所以a4为a2和a6的等差中项,所以有2a4=a2+a6,解得a6=0.【提示】解答本题可以利用等差中项的概念进行计算.【即时练习】例1某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费?n1根据意，市出租的行程大于或等于4km，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我可以建立一等差列a算.令a=11.2,表示4km的，公差d=1.2.那么解：题当该车时们个数来计车费处车费当车处时时车费11出租行至14km，n=11,此需要支付a=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).1【方法技巧】.建立等差数列的数学模型；2.解得模型的结果.车费需要支付2答：3.2元.梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.解:由题意知，建立一个等差数列{an}来计算中间各级的宽，由已知条件，有a1=33,a12=110，1≤n≤12，n∈N*,又a12=a1+(12-1)d，即110＝33＋11d，所以d=7，因此，a2=33+7=40，a3=40+7=47，…，a11=96+7=103.答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68cm、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.【变式练习】例2已知数列的通项公式为，其中，为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？napnqpqnannn-1判定a是不是等差列，可以利用等差列的定，也就是看a-an1是不是一与n的析：常.分数数义个无关数nnn-1nn-1n取列a中的任意相a与a(n1),求差得a-a=pn+q-pn-1+q=pn+q-(pn-p+q)=p.它是一与n的常解：.所以a是等差列.数邻两项个无关数数证明等差数列的方法：1.利用定义;2.利用等差中项的性质;3.利用通项公式是一次函数的性质.在等差数列{an}中，已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.解:a4+a5+a6+a7=56，所以a4+a7=28，①又a4a7=187②，联立①②解得a4=17，a7=11，a4=11，a7=17，或所以d=-2或2,从而a14=-3或31.【变式练习】例3在等差数列{an}中，(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20.(2)已知a3+a11=10，求a6+a7+a8.解：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10.解：a3+a11=a6+a8=2a7，又a3+a11=10，所以a6+a7+a8=（a3+a11）=15.32熟记性质（2013·上海高考）在等差数列中，若naa1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=.【解析】123423232()3015.aaaaaaaa答案：15【变式练习】1．在等差数列{an}中，a1+a9＝10，则a5的值为()A.5B.6C.8D.10【解析】∵a1＋a9＝2a5，∴a5＝5.A2．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝()A．3B．－3C.32D．－32A【解析】由题意知a4+a5=a2+a7∴a2=15-12=3，故选A.3.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)A.-1B.1C.-2D.2B2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6).提示:4．（2014·辽宁高考）设等差数列{an}的公差为d.若数列{1naa2}为递减数列，则()A．d0B．d0C．a1d0D．a1d0C5.（2015·广东高考）在等差数列na中，若3456725aaaaa，则28aa=.【解析】因为na是等差数列，所以37462852aaaaaaa，345675525aaaaaa即55a，所以285210aaa.答案：10．6.（2015·陕西高考）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【解析】设数列的首项为1a，则12015210102020a，所以15a，故该数列的首项为5．答案：5（一）等差数列的基本性质1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.(m,n,p,q∈N*)2.等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.3.等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列.4.两个等差数列{an},{bn}的和、差还是等差数列,即{an±bn}也是等差数列，{pan}、{an+c}也是等差数列.（二）等差数列的证明1.利用定义;2.利用等差中项的性质;3.利用通项公式是一次函数的性质.(三)等差数列的公差与增减性的关系公差d数列{an}为递增数列数列{an}的增减性例子d0d=0数列{an}为常数列数列{an}为递减数列1,2,3,4,…,n1，1，…，1，13，2，1，0，-1，…，4-nd0（四）等差数列与一次函数的关系an=kn+b(n∈N*)等差数列一次函数解析式不同点定义域为N*，图象是均匀排开的一系列孤立的点.等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式，都是简单的，也是最基本的数列或函数的解析式.f(x)=kx+b(k≠0)定义域为R，图象为一条直线.相同点自以为聪明的人往往是没有好下场的。世界上最聪明的人是最老实的人，因为只有老实人才能经得起事实和历史的考验。——周恩来