人教版高中数学必修五同课异构课件23等差数列的前n项和231探究导学课型

2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和1.体会等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式，并应用其解决实际问题.3.熟练掌握等差数列五个量a1，d，n，an，Sn间的关系.等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数前n项和公式Sn=_________Sn=______________1nnaa21nn1dna21.若等差数列{an}前5项和S5=10，则a3=()A.2B.4C.6D.8【解析】选A.S5==10，即a1+a5=4，故a3==2.155aa215aa22.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则d=.【解析】因为S3=3a1+d=6，所以d=-2.答案：-23223.若等差数列{an}的通项公式为an=2n，则Sn=.【解析】由题意知a1=2，d=2，所以Sn=na1+×2=n2+n.答案：n2+nnn12一、等差数列前n项和公式结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d及前n项和公式①Sn=；②Sn=na1+d，思考下面的问题：1nnaa2nn12探究1：试用数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d及Sn=推导Sn=na1+d.提示：将an=a1+(n-1)d代入Sn=化简即可.1nnaa2nn121nnaa2探究2：等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式中共涉及几个量？如何求这些量？提示：在这些公式中共含有5个量a1，d，n，an，Sn，所以只需知道其中的3个量就可以通过解方程组求出另外的2个量.【探究总结】等差数列前n项和公式的三个关注点(1)等差数列前n项和公式中涉及五个量，已知其中任意三个就可以列方程组求另外两个(简称“知三求二”)，它是方程思想在数列中的体现.(2)等差数列求和公式的推导，用的是倒序相加法，要注意体会这种求和方法的适用对象和操作程序，并能用来解决与之类似的求和问题.(3)当Sn是n的二次函数时，{an}不一定是等差数列.如果Sn=an2+bn+c，则在c=0时{an}是等差数列，在c≠0时{an}不是等差数列；反过来{an}是等差数列，Sn的表达式可以写成Sn=an2+bn的形式，但当{an}是不为零的常数列时，Sn=na1是n的一次函数.二、等差数列前n项和的性质由等差数列的前n项和公式Sn=na1+变形得：请根据该式子思考下面的问题：探究1：等差数列的前n项和是否可以看成是关于n的二次函数？提示：可以，若令A=，B=a1-，则可化为Sn=An2+Bn，显然是关于n的二次函数.nn1d2，2n1ddSn(a)n22，d2d22n1ddSn(a)n22探究2：若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列是否为等差数列？若是，则公差是什么？首项是什么？提示：根据等差数列的前n项和公式可得，两边同除以n得：所以是首项为a1，公差为的等差数列.2n1ddSn(a)n22，n1Sdan1n2，nS{}nd2nS{}n【探究总结】1.对等差数列的前n项和性质的两点说明(1)等差数列的前n项和可以写成Sn=An2+Bn，其中A，B∈R(注意不含常数项时才为等差数列)，其中公差为2A.(2)利用等差数列的前n项和性质解题能使问题的解决简单、快捷.2.等差数列前n项和的三条性质(1)等差数列{an}中，若Sn=m，Sm=n(m≠n)，则Sm+n=-(m+n).(2)等差数列{an}中，若Sn=Sm(m≠n)，则Sm+n=0.(3)设数列{an}是等差数列，项数为m，其奇数项之和记为S奇，偶数项之和记为S偶，那么，当项数m为偶数2n时，S偶-S奇=nd，当项数m为奇数2n+1时，S奇-S偶=an+1，.nn1SaSa奇偶；Sn1.Sn奇偶类型一等差数列前n项和公式的应用1.(2014·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于()A.8B.10C.12D.142.已知数列则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=()A.4800B.4900C.5000D.5100nn1nann－，为奇数，，为偶数，3.数列{an}为等差数列.已知a2=1，a4=7.(1)求通项公式an.(2)求{an}的前10项和S10.【解题指南】1.利用公式，联系基本量a1，d建立方程求解.2.先列出数列的项，再利用等差数列的前n项和公式求解.3.先根据a2=1，a4=7，求出首项和公差，进而得出通项公式，再根据等差数列的前n项和公式求前10项和.【自主解答】1.选C.由题得解得所以a6=a1+5d=12.2.选C.由题意得a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=0+2+2+4+4+…+98+98+100=2(2+4+6+…+98)+100=2×+100=5000.3.(1)设公差为d，则解得所以an=3n-5.(2)S10=10×(-2)+×3=115.49(298)211a23a3d12，，1a2d2，，11ad1a3d7，，1a2d3，，1092【规律总结】等差数列前n项和公式运用的注意点及解题流程(1)注意点：①方程思想：等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解；②整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.(2)解题流程：等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，利用等差数列通项公式与前n项和公式列方程组求解a1和d是解决等差数列求和问题的常用方法.其一般的解题流程为：【变式训练】1.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=，Sn=.2.在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，则S8=.12【解析】1.设{an}的公差为d，由S2=a3知，a1+a2=a3，即2a1+d=a1+2d，又a1=，所以d=，故a2=a1+d=1，Sn=na1+n(n-1)d=n+(n2-n)×=n2+n.答案：1n2+n121212121414121214142.因为a6=10，S5=5，所以解方程组得则S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3=44.答案：4411a5d105a10d5，，1a5d3.，类型二等差数列前n项和的性质的应用1.(2014·重庆高二检测)在等差数列{an}中，3(a2+a6)+2(a5+a10+a15)=24，则此数列前13项之和为()A.26B.13C.52D.1562.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为.3.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和.nS{}n【解题指南】1.由条件求出a1+a13的值，然后利用等差数列前n项和的性质求解.2.利用数列是等差数列来求解.3.可利用等差数列前n项和的性质求解.nS{}n【自主解答】1.选A.由条件知6a4+6a10=24，即a4+a10=4，故a1+a13=4，所以S13==26.2.因为an=2n+1，所以a1=3，所以Sn==n2+2n，所以=n+2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10+×1=75.答案：75n32n12nSn1092nS{}n11313aa23.数列S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10+×D=S100=10，所以D=-22，所以S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.所以S110=-120+S100=-110.1092【规律总结】等差数列前n项和的几个常用性质已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，在解题中常用的性质有：(1)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等差数列.(2)若项数为2n-1项，则S2n-1=(2n-1)an.【变式训练】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm=70，S2m=110，则S3m=.【解析】因为{an}为等差数列，所以Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列，所以2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m，即2×(110-70)=70+S3m-110，所以S3m=120.答案：120类型三数列Sn与an的关系问题1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=()A.3B.4C.5D.62.Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.(1)Sn=2n2+3n+2.(2)Sn=3n-1.【解题指南】1.利用an=Sn-Sn-1，求出am及am+1的值，从而确定等差数列{an}的公差，再利用前n项和公式求出首项a1，进而根据通项公式求出m的值.2.利用求数列的通项公式，注意验证n=1时是否适合一般的式子.1nnn1Sn1aSSn2－，，－，【自主解答】1.选C.由已知得，am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm=3，因为数列{an}为等差数列，所以d=am+1-am=1，又因为所以m(a1+2)=0，因为m≠0，所以a1=-2，又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5.1mmmaaS02，2.(1)当n=1时，a1=S1=7，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1，又a1=7不适合上式，所以an=(2)当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2×3n-1，显然a1适合上式，所以an=2×3n-1(n∈N*).7n14n1n2.，，，【规律总结】由数列的前n项和求数列的通项公式的步骤(1)令n=1，求a1，即a1=S1.(2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1.(3)验证n=1时，an=Sn-Sn-1是否成立.(4)得出结论.【变式训练】已知数列{an}的前n项和求数列{an}的通项公式an.【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn-1当n=1时，满足上式，所以an=-3n+104(n∈N*).2n3205Snn22，2232053205(nn)[n1n1]3n104.2222113205aS10122类型四等差数列前n项和的实际应用1.为了参加5000m长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划.第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑400m，李强10天一共跑了m.2.甲、乙两物体分别从相距70m的两处相向运动，甲第一分钟运动2m，以后每分钟比前一分钟多运动1m，乙每分钟运动5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折回，甲继续每分钟比前一分钟多运动1m，乙继续每分钟运动5m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？【解题指南】1.根据李强每天跑的路程构成一个首项为5000m，公差为400m的等差数列，转化为求和.2.(1)甲每分钟运动的路程构成了一个首项a1=2，公差d=1的等差数列，由甲运动的路程与乙运动的路程之和为70求解.(2)到第二次相遇，甲、乙两人共运动了3×70m，建立方程求解.【自主解答】1.将李强每一天跑的路程记为数列{an}，则a1=5000m，公差d=400m.所以S10=10a1+×d=10×5000+45×400=68000(m)，故李强10天一共跑了68000m.答案：680001010122.把物理问题转化为等差数列求项数问题.(1)设第n分钟后第一次相遇，依题意有2n++5n=70，整理，得n2+13n-140=0，解得n=7，n=-20(舍去).所以第一次相遇在开始运动后的第7分钟.nn12(2)设第m分钟后第二次相遇，依题意，有2m++5m=3