人教版高中数学必修五同课异构课件23等差数列的前n项和232精讲优练课型

第2课时等差数列习题课【题型探究】类型一等差数列前n项和的性质【典例】1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且则=()nnS2nT3n1，55ab29207A.B.C.D.3143192.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且那么的值为()3.(2015·唐山高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=()A.3B.4C.5D.648S1S3，816SS1113A.B.C.D.83910【解题探究】1.典例1中，如何转化为的形式？提示：2.典例2中，S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12是否成等差数列？提示：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列.55abnnST195519919551999aaa2aaaS2.9bbb2bbbT23.典例3中，联系题目条件，可以考虑应用等差数列前n项和的哪个性质？提示：应用数列是等差数列.nS{}n【解析】1.选B.由题意得195519919551999aaa2aaaS2992.9bbb2bbbT3911422.选D.由可设S4=t，S8=3t，t≠0，所以S8-S4=3t-t=2t，因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列，所以S12-S8=3t，S16-S12=4t，所以S12=6t，S16=10t.所以48S1S3，816S3t3.S10t103.选C.因为数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，所以数列也为等差数列.所以解得m＝5，经检验为原方程的解.nS{}nm1m1mSS2S230m1m1mm1m1＋＝，即＋＝，【延伸探究】若典例1条件不变，试计算【解析】77a.b1137711313113771131313aaa2aaaS213bbb2bbbT221313.313120【方法技巧】与等差数列前n项和Sn有关的性质(1)数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…是公差为n2d的等差数列.(2)数列为等差数列.nS{}n(3)等差数列{an}前n项和公式为由等差数列的性质可得：(4)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则1nnnaaS2，12m2mmm112m12m1m12m(aa)Smaa2(2m1)(aa)S(2m1)a.2，n2n1n2n1aS.bT－－【变式训练】1.(2015·黄山高二检测)等差数列的通项公式是an=1-2n，其前n项和为Sn，则数列的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-66nS{}n【解析】选D.因为所以所以数列是首项为-1，公差为-1的等差数列，其前11项和为-（1+2+3+…+11）==－66.21nnn(aa)n(112n)Sn22－－－，2nSnnnn－－，nS{}n11(111)2－2.等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=-6，S18-S15=18，则S18等于()A.36B.18C.72D.9【解题指南】根据S3，S6-S3，S9-S6，…，S18-S15成等差数列计算.【解析】选A.由S3，S6-S3，S9-S6，…，S18-S15成等差数列，可知S18=S3+S6-S3+S9-S6+…+S18-S156(618)36.2－【补偿训练】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和.【解析】方法一：设该等差数列的公差为d，由于Sn=所以1n(n1nad2－），n1Sda(n1)n2－，所以数列是等差数列，其公差为.所以所以所以所以S110=－110.nS{}nd210010SSd1010099(10010)2100101001010－－－－，d11.2100－110100SSd10111010()11101002100100－－，方法二：数列S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10+×D=S100=10⇒D=-22，所以S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.所以S110=-120+S100=-110.1092类型二奇数项和、偶数项和问题【典例】等差数列{an}的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为27∶32，求这个数列的通项公式.【解题探究】典例中前12项中奇数项能构成等差数列吗？偶数项呢？偶数项的和与奇数项的和的差有何特点？提示：前12项中奇数项、偶数项分别构成以a1，a2为首项，2d为公差的新的等差数列.S偶-S奇=6d.【解析】方法一：设{an}的首项为a1，公差为d，S奇=6a1+×2d=6a1+30d，S偶=6(a1+d)+×2d=6a1+36d，所以an=2+(n-1)×5=5n-3.652652111116a30d27d56a36d32a2.(6a30d)(6a36d)354.，，所以解得方法二：S偶-S奇=(a2+a4+…+a12)-(a1+a3+…+a11)=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a12-a11)=6d，所以S偶-S奇=192-162=6d.所以d=5.因为S12=12a1+×5，所以a1=2.所以an=5n-3.S27S192S32S162.SS354奇偶偶奇奇偶，，因为所以，12112方法三：设{an}的首项为a1，公差为d，则所以①因为S12==6(a6+a7)=354，②解得所以d=5.所以an=a6+(n-6)×5=27+5n-30=5n-3.2121116aa6aaSS22偶奇（）（），，72121116Saaa32.Saaa27偶奇11212aa2(）67a27a32.，【延伸探究】1.(变换条件)典例中，“354”改为“222”，“27∶32”改为“17∶20”，其他条件不变，结果又如何？【解析】S偶-S奇=(a2+a4+…+a12)-(a1+a3+…+a11)=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a12-a11)=6d，所以S偶-S奇=120-102=6d.所以d=3.因为222=12a1+×3，所以a1=2.所以an=3n-1.S17S120S20S102.SS222.奇偶偶奇奇偶，，因为所以121122.(变换条件、改变问法)典例中项数改为2n+1(n∈N*)项，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数.【解析】项数为2n+1(n∈N*)，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，中间项为an+1，则所以所以n=3，an+1=11.所以数列的中间项为11，项数为7.12n1n122nn1aan1Sn1a442aanSna332奇偶（）＝＝＝，＝＝，n14.n3＝【方法技巧】奇数项和与偶数项和的性质(1)若等差数列的项数为2n，则S2n=n(an+an+1)，S偶-S奇=nd，n1nSa.Sa偶奇(2)若等差数列的项数为2n+1，则S2n+1=(2n+1)an+1，S偶-S奇=-an+1，Sn.Sn1偶奇【补偿训练】在等差数列{an}中前m项(m为奇数且m1)和为77，其中偶数项和为33且a1-am=18，求这个数列的通项公式.【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则数列的前m项为a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，…，a1+(m-1)d.前m项(m为奇数)和为77，其中偶数项之和为33，所以奇数项之和为44，S奇=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+…+[a1+(m-1)d]m1(1)2－共项，S偶=(a1+d)+(a1+3d)+(a1+5d)+…+[a1+(m-2)d]所以S奇-S偶=a1+d=11，①因为a1-am=a1-[a1+(m-1)d]=18，所以(m-1)d=-18，②联立①②解得a1=20，所以am=2，因为Sm=(a1+am)=77，所以m=7.m1()2－共项，m12－m2代入(m-1)d=-18，解得d=-3.通项公式an=20-3(n-1)=23-3n.【延伸探究】1.(变换条件)本题中“77”改为“93”，“33”改为“42”，“a1-am=18”改为“a1=1”，其他条件不变，结果如何？1212【解析】设m=2n+1，由题意得S2n+1=(2n+1)an+1=93，S奇=S2n+1-S偶=93-42=51，S奇-S偶=an+1=8，所以所以n=5.121212122n1193S22n1111SS82奇偶，又因为a1=1，a1+nd=8，所以1+5d=8，解得d=，所以an=1+(n-1)×12123233n1.22－2.(变换条件、改变问法)将本题中“奇数且m1”改为“偶数且m≥18”，“77”改为“162”“33”改为“72”，“a1-am=18”改为“各项为整数”，求首项a1.【解析】设m=2n，则n≥9.S奇=a1+a3+…+a2n-1=na1+×2d=na1+n(n-1)d=162-72=90，S偶=a2+a4+a6+…+a2n=na2+×2d=na1+n2d=72，所以S偶-S奇=nd=-18，所以d=-，nn12(－)nn12(－)18n因为等差数列{an}各项均为整数，所以d=-(n≥9)为整数，所以n=9，18，当n=9时，d=-2，所以9a1+92×(-2)=72，a1=26，当n=18时，d=-1，所以18a1+182×(-1)=72，a1=22.18n类型三数列求和角度1：裂项相消法求和【典例】(2015·江苏高考)数列{an}满足a1=1，且an+1-an=n+1(n∈N*)，则数列的前10项和为_____.n1{}a【解题探究】典例中，用什么方法求数列{an}的通项公式？用什么方法计算数列的前10项和？提示：利用累加法求出数列{an}的通项公式；利用裂项相消法计算的前10项和.n1{}an1{}a【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=所以所以的前10项和为答案：nn12，n12ann1，2222111221331101011111111202(1).223341011112011n1{}a【延伸探究】若把典例中“an+1-an=n+1”改为“an=”，其他条件不变，结果又如何？【解析】因为所以的前10项和为n1nn11n1nan1n－，n1{}a2132431110111.－－－－－角度2：并项转化求和【典例】数列{an}的通项an=其前n项和为Sn，则S30的值为________.222nnn(cossin)33，【解题探究】典例中的数列{an}的通项公式可转化为何种形式？根据数列{an}中项的变化规律，用什么方法求和？提示：数列中重复出现－，－，1三项.据此特点，可将各项重新搭配并项求和.2n2nancos.32n{cos}31212【解析】由题意得，所以S30=-[(12+22-2×32)+(42+52-62×2)+…+(282+292-302×2)]=-[(12-32)+(42-62)+…+(282-302)+(22-32)+(52-62)+…+(292-302)]=-[-2(4+10+16+…+58)-(5+11+17+…+59)]2n2nancos3121212答案：4701458559(21010)470.222角度3：求数列{|an|}的前n项和【典例】已知数列{an}的通项公式a