人教版高中数学必修五同课异构课件241等比数列探究导学课型

2.4等比数列第1课时等比数列1.掌握等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式，并会应用.3.能够应用等比数列的概念判断一个数列为等比数列.1.等比数列的概念(1)定义：一个数列从______起，每一项与它的前一项的比等于_________.(2)公比：这个常数叫做等比数列的公比.(3)公比的表示：________.第2项同一常数q(q≠0)2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成_________，那么G叫做a与b的等比中项，其满足的关系式为_____.3.等比数列的通项公式首项是a1，公比是q(q≠0)的通项公式为an=_____(a1≠0，q≠0).等比数列ab=G2a1qn-11.已知{an}是等比数列，a1=1，a4=2，则a3=()A.±2B.2C.-2D.4【解析】选B.因为a4=a1·q3，所以q3=所以q=，所以a3=a1q2=2.2241a22a，2.已知数列{an}为等比数列，且a1=2，q=3，则an=.【解析】由a1=2，q=3，所以an=2×3n-1.答案：2×3n-13.若等比数列{an}的通项为an=×5n，则a1=.【解析】由通项an=×5n，令n=1，得a1=答案：12125.2524.已知数列{an}为等比数列，若a2=2，a5=则q=.【解析】由得解得q=答案：14，25a21a4，，141aq21aq4，，1.212一、等比数列的通项探究1：观察等比数列的通项公式an=a1qn-1，思考下面的问题：(1)公式中的q能否为零？请说明理由.提示：不能，根据等比数列的定义，公比为每一项与前一项的比即：=q，若q=0，则an=0，所以数列中每一项都为零，所以an-1=0，这样比值无意义，所以q≠0.nn1aann1aa(2)要想确定等比数列的通项公式，需要具备哪几个条件？提示：由等比数列的通项公式an=a1qn-1，要确定其通项公式，必须知道a1，q两个条件.探究2：根据等比数列的定义，如何推导出等比数列的通项公式？提示：由等比数列的定义，以上各式相乘可得an=a1qn-1(a1≠0，q≠0).324n123n1aaaaqqqqaaaa，，，，，，【拓展延伸】等比数列通项公式的两种证法(1)归纳法：a1=a1，a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，…，an=an-1q=a1qn-1.(2)迭代法：an=an-1q=an-2q2=…=a2qn-2=a1qn-1.【探究总结】对等比数列通项公式的两点说明(1)在等比数列的通项公式中含有4个基本量，只要知其中任意3个，可求第四个基本量.(2)通项公式的推导方法采用的是累乘法，该方法是求数列通项公式常用的方法.二、等比数列的判定探究1：根据等比数列的定义，判断下面的数列是否为等比数列？(1)1，3，32，33，…，3n-1，…提示：记数列为{an}，显然a1=1，a2=3，…，an=3n-1，…，由于=3(n≥2，n∈N*)，所以该数列为等比数列，公比为3.n1nn2n1a3a3(2)-1，1，2，4，8，…提示：记数列为{an}，显然a1=-1，a2=1，a3=2，…由于所以此数列不是等比数列.3212aa12aa，(3)a，a2，a3，…，an，…提示：当a=0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a，a2，a3，…，an，…，显然此数列为等比数列且公比为a.探究2：在利用等比数列的定义判定一个数列为等比数列时应注意什么？提示：根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需要注意：(1)=q(n∈N*)为常数.(2)比值为同一个常数.(3)数列中的每一项都不能为0.n1naan1naa探究3：由等比数列的定义，要判断一个数列是否为等比数列，只需判断什么？提示：只需判断是否为同一个常数.n1naa【探究总结】等比数列判定的三点说明(1)利用定义判定应注意公比为每一项与前一项的比.(2)必须说明是从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数.(3)若公比为1，则该数列为常数列，也为等比数列.类型一等比数列中基本量的求解1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7等于()A.64B.81C.128D.2432.(2014·天津高考)设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=()A.2B.-2C.D.-3.(2014·济宁高二检测)已知数列{an}为递增的等比数列，其中a2=9，a1+a3=30.求数列{an}的通项公式.1212【解题指南】1.根据条件a1+a2=3，a2+a3=6求出公比和首项，再根据等比数列的通项公式求出a7.2.根据S1，S2，S4成等比数列建立关于a1的方程求解.3.先根据a2=9，a1+a3=30，求出q，再代入等比数列的通项公式求得.【自主解答】1.选A.因为{an}为等比数列，所以=q=2.又a1+a2=3，所以a1=1.故a7=1×26=64.2.选D.因为S1，S2，S4成等比数列，所以S22=S1·S4，即(a1+a1-1)2=a1(4a1－×4×3)，解得a1=-.3.设等比数列的公比为q，又由已知a2=9，a1+a3=30，可得+9q=30，解得q=3或q=由已知，数列为递增数列，所以q=3，即an=a2qn-2=9×3n-2=3n.2312aaaa9q13，1212【规律总结】等比数列中任意项求解的两种方法(1)若已知a1和q，利用通项公式an=a1qn-1可求等比数列中的任意一项.(2)若已知等比数列中任意两项的前提下，利用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1=an=q=则n为()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.等比数列{an}中，a1=an=q=所以an=a1qn-1=所以即n-1=3，n=4.98，13，23，98，13，23，n1921()833，n1322()()33，【加固训练】在等比数列{an}中，若2a4=a6-a5，则公比q是.【解析】由已知得2a1q3=a1q5-a1q4，即2=q2-q，所以q=-1或q=2.答案：-1或2类型二等比中项及应用1.(2014·济宁高二检测)已知等比数列{an}中，a1=2，a5=18，则a2a3a4等于()A.36B.216C.±36D.±2162.(2015·兰州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.4223.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1，a+1，a+4，则an=.【解题指南】1.由a1，a3，a5成等比数列，求出a3，再由a2，a3，a4成等比数列，求出a2·a4.2.根据等比中项得a2，a8，从而得q，进而求出a5，得a4a5a6.3.由a-1，a+1，a+4成等比数列，根据等比中项的概念求出a的值，从而得出通项.【自主解答】1.选B.由a1，a3，a5成等比数列，故a32=a1·a5=36，所以a3=6或a3=-6(舍)，又a2，a3，a4成等比数列，所以a2·a4=a32，故a2·a3·a4=a33=63=216.2.选A.由a1a2a3=5，所以a2=又a7a8a9=a83=10，故a8=所以=q6=，所以q=所以a4a5a6=a53=(a2·q3)3=a23·q9=()3·()9=35，310，82aa321182，35118252.3.由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4)，解得a=5，所以a1=4，a2=6，所以q=所以an=答案：21a63a42，n134().2n134()2【规律总结】等比中项应用的三点注意(1)由等比中项的定义可知⇒G2=ab⇒G=±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a，G，b成等比数列等价于G2=ab(ab0).GbaGab【变式训练】1.在等比数列{an}中，a1=-16，a4=8，则a7=()A.-4B.±4C.-2D.±2【解析】选A.因为数列{an}为等比数列，所以a42=a1·a7，所以a7==-4.2241a8a162.若a=45，b=80，则a，b的等比中项为.【解析】设a，b的等比中项为G，则G2=ab=45×80=3600，所以G=±60.答案：±60【加固训练】如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么()A.b=3，ac=9B.b=-3，ac=9C.b=3，ac=-9D.b=-3，ac=-9【解析】选B.因为b2=(-1)×(-9)=9，且b与首项-1同号，所以b=-3，且a，c必同号.所以ac=b2=9.类型三等比数列的证明1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么()A.{an+bn}，{an·bn}都一定是等比数列B.{an+bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列C.{an+bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列D.{an+bn}，{an·bn}都不一定是等比数列2.在数列{an}中，若an+1=2an+3(n≥1，n∈N*)，证明：数列{an+3}是等比数列.【解题指南】1.对于能构成等比数列的利用等比数列的定义判定，而构不成等比数列的可通过特例说明.2.根据等比数列的定义，只需证明等于常数即可.n1na3a3【自主解答】1.选C.{an+bn}不一定是等比数列，如an=1，bn=-1，因为an+bn=0，所以{an+bn}不是等比数列.设{an}，{bn}的公比分别为p，q，因为=pq≠0，所以{an·bn}一定是等比数列.2.令an+1+λ=2(an+λ)，与已知an+1=2an+3比较知λ=3，所以an+1+3=2(an+3)，即=2，所以数列{an+3}是首项为a1+3，公比为q=2的等比数列.n1n1n1n1nnnnababababn1na3a3【延伸探究】题2条件不变，若a1=2，求数列{an}的通项公式.【解析】由数列{an+3}是等比数列，当a1=2时，a1+3=5，所以数列{an+3}是首项为5，公比q=2的等比数列，所以an+3=5×2n-1，即an=5×2n-1-3.【规律总结】证明一个数列为等比数列的三种方法(1)定义法：验证=q(常数)是否成立.(2)等比中项法：证明an+12=anan+2，注意an≠0.(3)通项公式法：证明an=a1qn-1，这里a1≠0且q≠0.提醒：利用等比数列的定义证明数列为等比数列时必须说明为同一常数.n1naan1naa类型四等比数列中常见项的设法1.(2014·绍兴高一检测)在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为()27452547A.B.C.D.24242.一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.【解题指南】1.根据前3个数成等比数列，设出这两个数，再由后三个数成等差数列列方程求解.2.根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方程组求解.【自主解答】1.选B.设这两个正数为3q，3q2，则3q，3q2，9成等差数列，所以6q2=3q+9，即2q2-q-3=0，解得q=，q=-1(舍)，所以这两个数为，其和为3292724，45.42.设所求的等比数列为，a，aq.由已知条件，得化简，得解得或由q=3，a=6得所求数列为2，6，18.由q=-5，a=得所求数列为经检验，均符合题意，故所求的等比数列为2，6，18或2a2a4aqqa32aqa4q，，2aq2aqa8q04aaq2q0