人教版高中数学必修五同课异构课件241等比数列精讲优练课型

2.4等比数列第1课时等比数列【知识提炼】1.等比数列的定义及通项公式2它的前一项比常数q(q≠0)a1qn-1(a1≠0)(q≠0)2.等比中项(1)前提：三个数________组成等比数列.(2)结论：__叫做_____的等比中项.(3)满足的关系式：G=_____.a，G，bGa和bab【即时小测】1.判断(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若b2=ac，则a，b，c成等比数列.()(3)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(4)常数列既是等差数列又是等比数列.()【解析】(1)错误.等比数列的公比不能为零.(2)错误.如02=3×0，但是3，0，0不成等比数列.(3)错误.这里未强调每一项与前一项的比是同一常数，不符合等比数列的定义，因而是错误的.(4)错误.非零常数列既是等差数列又是等比数列.答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.下列各数列成等比数列的是()①1，-2，-4，-8；②1，③-1，1，-1，1；④(a为常数且a≠0).A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③1113927，，；2341111aaaa，，，【解析】选A.①因为所以1，-2，-4，-8不是等比数列；②1，是首项为1，公比为的等比数列；③-1，1，-1，1是首项为-1，公比为-1的等比数列；④(a为常数且a≠0)是首项为，公比为的等比数列，综上可知②③④是等比数列.2412－－，－1113927，，2341111aaaa，，，131a1a3.已知{an}是一个等比数列，若a1=3，a5=12，则公比q=()【解析】选D.因为a5=a1q4，所以所以q=±.22A.B.C.2D.222451a12q4a3，24.等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通项公式为________.【解析】数列{an}通项公式为an=2×5n-1.答案：an=2×5n-15.-1与-25的等比中项为________.【解析】-1与-25的等比中项为答案：±51255.【知识探究】知识点1等比数列的概念观察图形，回答下列问题：问题1：图中的细胞分裂组成的数列1，2，4，8，16，…是等比数列吗？问题2：等比数列中相邻项之间有什么关系？【总结提升】1.从三个方面剖析等比数列的概念(1)定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中的“与它的前一项的比”相吻合；其二，定义包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证数列中各项均与其前面一项作商.(2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求的含义也有两个：其一是作商的顺序，即后面的项比前面的项；其二强调这两项必须相邻.(3)注意定义中要求“同一常数”，否则这个数列不是等比数列.2.等比数列定义的符号表示在数列{an}中，若=q(n∈N*)，q为不为0的常数，则数列{an}是等比数列.n1naa知识点2等比中项观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：任意两个实数都有等比中项吗？问题2：两个正数的等比中项是唯一的吗？【总结提升】对等比中项的三点认识(1)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.(2)“a，G，b成等比数列”等价于“G2=ab”(a，b均不为0)，要特别注意限定的条件，否则是不等价的.可以用它来判断或证明三个数成等比数列.同时还要注意到“a，G，b成等比数列”与“G=±”是不等价的.(3)同号的两个实数才有等比中项.ab知识点3等比数列的通项公式观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：等比数列的通项公式与指数函数有什么关系？问题2：由等比数列的定义如何推导等比数列的通项公式？【总结提升】1.推导等比数列通项公式的常见方法(1)迭代法：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由等比数列的定义得，an=an-1q=an-2q2=an-3q3=…=a2qn-2=a1qn-1.(2)归纳法：a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，…，an=an-1q=a1qn-1.(3)累乘法：=q·q·q·…·q，即=qn-1，故an=a1qn-1.324n123n1aaaaaaaan1aa2.理解等比数列通项公式应注意的三点(1)由等比数列的首项和公比可以写出其通项公式.(2)根据等比数列的通项公式，已知四个量a1，n，q，an中的三个，就可以求出第四个.(3)由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列的项.【拓展延伸】用函数的观点看等比数列的通项等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1，可以改写为an=·qn.当q0，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而y=·qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数y=·qx的图象上的一群孤立的点.1aq1aq1aq例如，当a1=1，q=2时，an=·2n，表示这个数列各项的点就都在函数y=·2x的图象上，如图所示：1212【题型探究】类型一等比数列通项公式的应用【典例】1.(2015·承德高一检测)在等比数列{an}中，a1=，a3+a5=4，an=3，则n=()A.5B.6C.4D.3132.(2015·北京高考)已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7.问：b6与数列{an}的第几项相等？【解题探究】1.典例1中，关键是计算哪个量？提示：关键是计算公比.2.典例2中，(1)关键是计算哪些量？计算的顺序是什么？(2)如何求等比数列{bn}的通项公式？判断b6与数列{an}的第几项相等的本质是计算什么？提示：(1)关键是计算首项、公差.根据题目条件应先计算公差，再计算首项.(2)先计算b2，b3，再计算公比，最后求等比数列{bn}的通项公式.本质是依据b6=an计算n的值.【解析】1.选A.设等比数列{an}的公比为q，因为a1=，a3+a5=4，所以q2+q4=4，即q4+q2-12=0，解得q2=3或q2=-4(舍)，所以|q|1，所以等比数列{an}各项的绝对值是逐项递增的.又因为a5=a1q4=×32=3，所以n=5.131313132.(1)设等差数列{an}的公差为d，则d=a4-a3=2，a1+a2=2a1+2=10，所以a1=4.因此，an=4+(n-1)×2=2(n+1).(2)设等比数列{bn}的公比为q，则b2=8，b3=16，所以q==2，b1=4，bn=2n+1，b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.所以b6与数列{an}的第63项相等.32bb【延伸探究】若将典例2的条件“等差”改为“等比”“a1+a2=10，a4-a3=2”改为“a3+a1=5，a5-a1=15”，求数列{an}的通项公式.【解析】设等比数列{an}的公比为q，由已知得即由②÷①得q2-1=3，所以q=±2.代入①得a1=1，所以数列{an}的通项公式为an=2n-1或an=(-2)n-1.211411aqa5aqa15.，2141aq15aq115.，①②【方法技巧】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.【变式训练】1.(2015·成都高一检测)已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a7=()A.18B.24C.30D.42【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q，由题意得3+3q2+3q4=21，即q4+q2-6=0，解得q2=2或q2=-3(舍)，所以a3+a7=3q2+3q6=3×2+3×23=30.2.已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a3=5，a1a3=4.求数列{an}的通项公式.【解析】由a1a3=4，a1+a3=5知，a1，a3是方程x2-5x+4=0的两根.又因为an+1an，所以a1=1，a3=4，所以q2==4，所以q=2或q=-2(舍去)，故an=a1·qn-1=2n-1.31aa【误区警示】解答本题容易忽视数列{an}是递增的等比数列，导致增解.【补偿训练】在等比数列{an}中，已知a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n.【解析】因为所以由①除以②得q=，从而a1=32.又因为an=1，所以32×=1，所以，所以n=6.42511253611aaaqaq18aaaqaq9，①，②12n11()2n1511()()22类型二等比中项的应用【典例】1.(2015·福建高考)若a，b是函数f(x)=x2-px+q(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.92.(2015·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a=5+2，c=5-2，则b=________.66【解题探究】1.典例1中，如何确定a，b的符号？进一步如何找出关于a，b的等量关系？提示：由a+b=p0，ab=q0知a0，b0.2.典例2中，a，b，c满足的关系是什么？提示：b2=ac.【解析】1.选D.由题意可得所以a0，b0，不妨设ab，所以等比数列为a，-2，b或b，-2，a，从而得到ab=4=q，等差数列为a，b，-2或-2，b，a，从而得到2b=a-2，两式联立解出a=4，b=1，所以p=a+b=5，所以p+q=5+4=9.abp0abq0.，2.因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b2=ac=(5+2)(5-2)=1，因为b0，所以b=1.答案：166【方法技巧】应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2=ab，其中a，b，G均不为零.(2)已知等比数列中的相邻三项an-1，an，an+1，则an是an-1与an+1的等比中项，即an2=an-1an+1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程.【变式训练】1.已知a-1，a+1，a+4三个数成等比数列，则公比q=________.【解析】由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4)，解得a=5，三个数依次为4，6，9，公比q=答案：63.42322.已知等差数列{an}满足：a1=2，a3=6.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________.【解析】设所加的数为x，则(a4+x)2=(a1+x)·(a5+x)，因为公差d=所以a4=8，a5=10，所以(8+x)2=(2+x)·(10+x)，解得x=-11.答案：-1131aa62222，【补偿训练】(2015·南阳高二检测)在等比数列{an}中，若an=2n，则a7与a9的等比中项为()A.a8B.-a8C.±a8D.前3个选项都不对【解析】选C.因为数列{an}是等比数列，且an=2n，所以a82=a7a9=27×29=(28)2，所以a7与a9的等比中项为±28，即±a8.类型三等比数列的判定【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且2an+1=Sn+2(n≥2).(1)求a2，a3的值.(2)求数列{an}的通项公式.【解题探究】典例中(1)根据哪些等式计算a2，a3？典例中(2)为求数列{an}的通项公式，应先求什么？关键是什么？提示：典例中根据2a2=S1+2，2a3=S2+2计算a2，a3.为求数列{an}的通项公式，应先求递推公式.关键是证明数列{an}是等比(差)数列，或将数列{an}与等比(差)数列联系起来.【解析】(1)因为2a2=S1+2=a1+2=3，所以a2=.因为2a3=S2+2=a1+a2+2=，所以a3=.329294(2)因为2a