人教版高中数学必修五同课异构课件242等比数列的性质探究导学课型

第2课时等比数列的性质1.了解等比数列的单调性与首项a1及公比q的关系.2.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质.3.掌握等比数列的性质，并能综合应用解决有关问题.1.等比数列的常用性质设等比数列{an}的公比为q，则(1)an=amqn-m(m，n∈N*).(2)若m+n=k+l(m，n，k，l∈N*)，则____________.am·an=ak·al2.等比数列的单调性(1)当a10，____或a10，______时，{an}为递增数列.(2)当____，0q1或a10，____时，{an}为递减数列.(3)当____时，{an}为常数列.q10q1a10q1q=11.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=()A.3B.C.D.4【解析】选D.由a3，a6，a9成等比数列，得a62=a3·a9，所以a3=4.321692.已知数列{an}是等比数列，若an0，且a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5=.【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a2a4=a32，a4a6=a52，所以a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=25，又an0，所以a3+a5=5.答案：53.在等比数列{an}中，a3a5a7a9a11=243，则=.【解析】由等比数列的性质知a3a11=a5a9=a72得a75=243，所以a7=3，而a7a11=a92，所以=a7=3.答案：32911aa2911aa等比数列的性质探究1：已知等比数列{an}：1，2，4，8，16，…，2n-1，…，(1)计算a1a4=；a2a3=.并说明a1a4与a2a3有什么关系？它们项数之间有什么关系？提示：a1a4=8，a2a3=8，所以a1a4=a2a3；项数之和对应相等，即1+4=2+3.(2)若项数满足4+5=2+7，那么项之间满足a4a5=a2a7吗？提示：满足，因为a4=23=8，a5=24=16，a2=2，a7=26=64，所以a4a5=128=a2a7.(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2，apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l，所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1，an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman=a1qm-1×a1qn-1=a12qm+n-2，apal=a1qp-1×a1ql-1=a12qp+l-2，因为m+n=p+l，所以aman=apal.探究3：对任意的等比数列{an}，若am·an=ap·al(m，n，p，l∈N*)，则m+n=p+l吗？提示：不一定相等，当数列{an}为常数列时，m+n与p+l不一定相等.【探究总结】1.等比数列性质的关注点(1)利用性质m+n=p+q⇒am·an=ap·aq时要注意只有序号之和相等时才成立，且am·an=ap·aqm+n=p+q.(2)性质的特殊情况：若m+n=2p，则am·an=ap2.2.等比数列四个常用性质(1)下标成等差数列，则其对应项成等比数列.(2)从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项.(3)奇数项(或偶数项)依次仍组成等比数列.(4)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an·bn}，{λan}(λ≠0)，仍是等比数列.nnab，2nn1aa，类型一利用等比数列的性质求解基本量1.(2014·永安高一检测)等比数列{an}中，首项a1=1，公比q=2，则数列{an2}的通项是.2.在等比数列{an}中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比为整数，则a10=.【解题指南】1.先由{an}为等比数列，求出an的通项，判断{an2}是等比数列，再求其通项.2.利用若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则am·an=ap·aq求解.【自主解答】1.因为an=2n-1，所以=4，所以{an2}是首项为1，公比为4的等比数列，故an2=4n-1.答案：an2=4n-12.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.由解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).所以q==-2.所以a10=a3q7=-4(-2)7=512.答案：5122n2n122n1n2aa23838aa512aa124，，853aa【延伸探究】题2条件不变，求数列{an}的通项公式.【解析】由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.由解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).所以q==-2，所以an=a3qn-3=-4×(-2)n-3=(-1)n2n-1.3838aa512aa124，，853aa【规律总结】解决等比数列问题常用的两种方法(1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，然后求出其他量.这是等比数列常用的方法，其优点是思路简单、实用.缺点是计算较烦琐.(2)数列性质法：利用性质整体求值，简化运算过程.巧妙地利用性质m+n=p+q⇒am·an=ap·aq和an·am=ap2(m+n=2p，m，n，p∈N*)可以简化解题过程.【加固训练】已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=-8，则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7【解析】1.选D.因为数列{an}为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8，联立解得或所以q3=-或q3=-2，故a1+a10=+a7·q3=-7.4747aa2aa8，，47a4a2，47a2a4，，43aq12类型二等比数列性质的应用1.(2015·菏泽高二检测)已知数列{an}为正项等比数列，若a3，a7是方程2x2-7x+6=0的两个根，则a1·a3·a5·a7·a9的值是()A.B.9C.±9D.352.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1=1，b2=5，b3=17.求数列{bn}的通项公式.21233【解题指南】1.由根与系数的关系得a3·a7=3，又a1·a9=a3·a7=a52，可得a1·a3·a5·a7·a9的值.2.根据ab1，ab2，ab3成等比数列，得出等差数列{an}的首项与公差的关系，从而求出数列{abn}的通项，再根据abn为等差数列{an}中的第bn项，求出数列{bn}的通项.【自主解答】1.选B.因为a3，a7是方程2x2-7x+6=0的两根，故a3·a7=3，又根据等比数列的性质得a1·a9=a3·a7=a52=3，故a5=，所以a1·a3·a5·a7·a9=3×3×=9.3332.依题意a52=a1a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)，所以a1d=2d2，因为d≠0，所以a1=2d，数列{abn}的公比q==3，所以abn=a13n-1，①又abn=a1+(bn-1)d=a1，②由①②得a1·3n-1=·a1.因为a1=2d≠0，所以bn=2·3n-1-1.5111aa4daanb12nb12【规律总结】等差、等比数列综合问题的解题技巧对于等差数列、等比数列的综合问题，既可以按等差数列设项，也可以按等比数列设项，然后再根据条件求出其他项，一般是根据条件列方程组求解.同时解题时要注意运用等差数列、等比数列的性质得出相应的条件，再对式子做出灵活变形求解.【变式训练】已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若bn=log2an+1，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn42+4n成立的n的最小值.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意有2(a3+2)=a2+a4，①又a2+a3+a4=28，将①代入得a3=8.所以a2+a4=20，于是有解得或又{an}是递增的，故a1=2，q=2.所以an=2n.31121aqaq20aq8，，1a2q2，1a321q2，，(2)bn=log22n+1=n+1，则{bn}为等差数列，所以Sn=故由题意可得42+4n，得n12或n-7.又n∈N*，所以满足条件的n的最小值为13.22n1n3nn.22＝2n3n2