人教版高中数学必修五同课异构课件24第1课时等比数列情境互动课型

2.4等比数列第1课时等比数列1,3,5,7,9，…;(1)3,0,-3,-6,…;(2)等差数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.1234，，，，…（3）10101010庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”.1111124816，，，，，…如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：生活中的数列1.放射性物质镭的半衰期为1620年，如果从现有的10克镭开始，每隔1620年，剩余量依次为10000×1.05,10000×1.052,10000×1.053，10000×1.054，10000×1.0552.某人年初投资10000元，如果年收益率为５％，那么按照复利计算，５年内各年末的本利和依次为23411111010,10(),10(),10(),2222，1.理解等比数列的概念.(重点）2.掌握等比数列的通项公式，通过实例发现数列的等比关系，提高数学建模的能力．（重点、难点）看下列数列：5.3，9，27，81，…;11112.1;24816，，，，，23411113.10，10×,10×(),10×(),10×(),;22224.10000×1.05,10000×1.052,10000×1.053，10000×1.054，10000×1.055;2341.1，2，2，2，2,;探究点1：等比数列定义思考：它们的共同特点是什么？提示：从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.11116,,,,.24816.等比数列的定义:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).等比数列的定义*(n2nN)，qaann1*(n1,nN)1nnaqa或3524n1234n1aaaaaqaaaaa注意：1.公比是等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比，不能颠倒.2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数.写出上面六个等比数列的通项公式(如下)，类比等差数列的通项公式的推导过程，补全首项是，公比是q的等比数列的通项公式.1a{}nan-1n-1nn-1nnn111.22.3.104.100001.052215.36.-12（）（）（）()1naaqn-1如果一个数列是等比数列，它的公比是q，那么,1a,2a,3a,na…，…，21aaq由此可知，等比数列的通项公式为na2321aaqaq3431aaqaq4541aaqaq11(0)nnaaqq…设｛an｝是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4.求｛an｝的通项公式.解：设q为等比数列｛an｝的公比，由a1=2,a3=a2+4,得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1（舍去），故q=2.所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n.【即时练习】探究点2：等比中项观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就会成为一个等比数列：（1）1，____，9（2）-1，____，-4（3）-12，___，-3（4）1，____，1±3±2±6±1如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.abG（2014·安徽高考）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝_____.【解析】设等差数列{an}的公差为d,则（a3＋3）2=（a1+1）（a5+5），即[(a1+2d)+3]2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,所以a3＋3=a1+1，a5+5=a1+1，所以q=1.答案：1【即时练习】例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？分析：时间：剩留量:最初1经过1年a1=0.84经过2年a2=0.842经过3年a3=0.843……经过n年an=0.84n1n1nqaa设这质质经过条数个数nn1种物最初的量是1，n年，剩留量是a.由件可得，解：列{a}是一等比列，其中a=0.84,q=0.84.设则两边对数计这质约为nna=0.5，0.84=0.5.取，得nlg0.84=lg0.5.用算器算得n4.答：种物的半衰期大4年.答：到第5代大约可以得到种子粒.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？【解析】由于每一代的每一粒种子都可得120粒种子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为其中na511015120,120,1201202.510aqa102.510【变式练习】例2根据如图的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？开始输出A结束否A=1n=1n=n+1A=2An＞5?是A=A12图，，，121324354=111==2211==2411==2811==.216aaaaaaaaa由可知，将来数记为123若打印出的依次a解(即A),a,a：,.11121.2nnnnaaa由于，因此这个数列是等比数列，其通项公式是（）=递，11=11(1).2nnaaan于是，可得推公式在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（）A.B.C.D.3n13n13n23nC【变式练习】例3一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.①②②①③①1213111121832163aqaqaqqa.设这个等比数列的第项是，公比是，那么，　　　　，得.③解：把代入，得.=21163832161283aaq..因此，这个数列的第项和第项分别是：与答=【方法技巧】如果已知数列中的两项，并且知道项的序号，可以求得数列的其他项.数列1，37，314，321，…中，398是这个数列的（）A.第13项B.第14项C.第15项D.不在此数列中C【变式练习】1.（2015·广东高考）若三个正数a，b，c成等比数列，其中526a，526c，则b=．【解析】因为三个正数a，b，c成等比数列，所以25265261bac，因为0b，所以b=1.答案：12.(2015·浙江高考)已知na是等差数列，公差d不为零．若2a，3a，7a成等比数列，且1221aa，则1a，d．【解析】由题可得，2111(2)()(6)adadad，故有1320ad，又因为1221aa，即131ad，所以121,3da.答案：2133.(2015·全国卷)等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84【解析】选B.设等比数列的公比为q,则a1+a1q2+a1q4=21,又因为a1=3,所以q4+q2-6=0,解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.1.理解并掌握等比数列的定义及数学表达式：（n≥2，n∈N*）；2.要会推导等比数列的通项公式：，并掌握其基本应用.n1n1aaq(q0))0(1qqaann3.等比数列与等差数列的区别与联系不同点等差数列（1）若{an}为正项等比数列,则{logaan}（a0且a≠1）为等差数列；（2）若{an}为等差数列，则{}为等比数列（b≠0）.（1）都强调每一项与前一项的关系；（2）差或比结果都必须是常数；（3）数列都可以由a1，d或a1，q确定.等比数列相同点联系（1）强调每一项与前一项的比值；（2）a1与q均不为零.（1）强调每一项与前一项的差；（2）a1和d可以为零.nab百川东到海，何时复西归？少壮不努力，老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》