人教版高中数学必修五同课异构课件251等比数列的前n项和精讲优练课型

2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和【知识提炼】等比数列的前n项和公式1na1na1naaq1q－－n1a(1q)1q－－【即时小测】1.判断(1)求等比数列的前n项和可以直接套用公式()(2)等比数列的前n项和不可以为0.()(3)数列{an}的前n项和为Sn=an+b(a≠0，a≠1)，则数列{an}一定是等比数列.()n1na(1q)S.1q【解析】(1)不正确.只有当公比不等于1时，才可以用这个公式求和.(2)不正确.当公比等于-1，n为偶数时，前n项和为0.(3)不正确.根据和与项的关系，当n≥2时，an=an-an-1=an-1(a-1)，因为a不等于0和1，所以从第二项起{an}一定为等比数列，若b=-1，则该数列{an}为等比数列，否则不是.答案：(1)×(2)×(3)×2.等比数列{an}中，首项a1=8，公比q=，那么它的前5项的和S5的值是()【解析】选A.1231333537A.B.C.D.22225518[1()]312S.12123.等比数列1，x，x2，x3，…（x≠0）的前n项和Sn为()nn1nn11x1xA.B.1x1x1x1x(x1)(x1)C.D.1x1xnx1nx1，，【解析】选C.当x=1时，Sn=1+1+…+1=n，当x≠1时，Sn=1+x+x2+…+xn=.n1x1x4.等比数列{an}中，若a1=1，ak=243，公比q=3，则Sk=__________.【解析】Sk==364.答案：36412433135.若一个等比数列{an}的前4项的和为，公比为，则其首项a1为__________.【解析】由题知所以a1=1.答案：115812411a[1()]152.1812【知识探究】知识点1等比数列前n项和公式观察图形，回答下列问题：问题1：你会计算1+2+22+23+…+263吗？等比数列的前n项和公式中涉及哪些量？如何计算？问题2：如何从函数观点研究等比数列前n项和公式？【总结提升】1.对等比数列前n项和公式的三点说明(1)求和公式中是qn，通项公式中是qn-1，不要混淆.(2)应用求和公式时注意公比q的取值，必要时应讨论q≠1和q=1的情况.(3)利用方程思想在a1，q，n，Sn和a1，an，q，Sn中，各已知三个量可求第四个量.2.函数观点下的等比数列前n项和公式(1)若数列{an}是非常数列的等比数列，则其前n项和公式为：Sn=-Aqn+A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*).(2)注意到指数式的系数和常数项互为相反数，且A=1a.1q(3)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y=-Aqx+A图象上一群孤立的点.当q=1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y=a1x图象上一群孤立的点.知识点2等比数列前n项和的性质观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sm+n，Sn与Sm(m，n∈N*)有什么关系？问题2：若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列吗？【总结提升】等比数列前n项和的三个常用性质(1)数列{an}为公比不为-1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，仍构成等比数列.(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm(n，m∈N*).(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和，则①在其前2n项中，=q；②在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1SS偶奇12n112n2aaqaa(q1).1q1q【题型探究】类型一利用公式求等比数列前n项和【典例】(2015·四川高考)设数列{an}(n=1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.n1{}a【解题探究】本例中如何得到数列{an}的递推公式？若数列{an}是等比数列，则数列是等比数列吗？提示：直接利用前n项和Sn与通项an的关系推出数列{an}的递推公式.数列{an}是等比数列，则数列也是等比数列.n1{}an1{}a【解析】(1)当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=2an-a1-(2an-1-a1)，则an=2an-1(n≥2)，=2(n≥2).则{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列.又由题意得2a2+2=a1+a3，即2·2a1+2=a1+4a1，解得a1=2，则an=2n(n∈N*).nn1aa(2)由题意得(n∈N*)，由等比数列求和公式得nn11a2nnn11[1()]122T1().1212【延伸探究】1.(变换条件)若将典例中条件“Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差数列”改为“数列{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，a1=1”，其他条件不变，试用Sn表示Tn.【解析】因为Sn=所以Tn=nn1a(1q)1q1q1q，nn1n1nn111[1()]aq1qSq.1q(1q)1q2.(改变问法)典例条件不变，计算a1·a2+a2·a3+a3·a4+…+an·an+1.【解析】因为an=2n，所以an·an+1=2n·2n+1=22n+1，所以a1·a2+a2·a3+a3·a4+…+an·an+1=23+25+…+22n+132n12n22228(41).1233.(变换条件、改变问法)若把典例中条件改为“an=求数列{an}的前n项和Sn.【解析】由an=可知数列{an}的所有奇数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，所有偶数项构成以4为首项，以4为公比的等比数列，nn1n2n，为正奇数，，为正偶数，nn1n2n，为正奇数，，为正偶数，当n为正奇数时，当n为正偶数时，n12n2n1n1n1(1)n14(14)22S22n12214171nn2.4123n2n2nnn(1)n4(14)22S2222141n44n24233，所以数列{an}的前n项和为2n1n2n171nn2n4123S1n44n2n.4233，为正奇数，，为正偶数【方法技巧】等比数列前n项和公式的基本运算(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)当q=1时，等比数列是常数列，所以Sn=na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已知a1，q与n时，用Sn=比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn=比较方便.n1a(1q)1q1naaq1q【补偿训练】设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn.【解析】设数列{an}的公比为q，由题设得当a1=3，q=2时，an=3×2n-1，Sn=3×(2n-1)；当a1=2，q=3时，an=2×3n-1，Sn=3n-1.1211aq66aaq30.，11a3a2q2q3.，，解得或【延伸探究】1.(变换条件)若将本题条件“a2=6，6a1+a3=30”改为“a1+a3=10，a4+a6=”，则结果如何？54【解析】设公比为q，由已知得即②÷①得q3=，即q=，将q=代入①得，a1=8，2113511aaq105aqaq4，，21321a1q105aq1q4，①，，②181212所以n14nn1a8()22，nnn18[1()]12S16(1).12122.(变换条件、改变问法)若将本题条件“a2=6，6a1+a3=30”改为“4a3-a6=0”，试计算.【解析】由4a3-a6=0得q3=4，所以63SS63633S1q1q5.S1q类型二利用公式构建方程(组)求关键量【典例】1.(2015·全国卷Ⅰ)数列{an}中a1=2，an+1=2an，Sn为的前n项和，若Sn=126，则n=_____________.2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=S9，求数列{an}的公比q的值.【解题探究】1.典例1中，数列{an}是等比数列吗？求n的基本思路是什么？提示：由an+1=2an确定数列{an}为首项a1=2，公比q=2的等比数列.根据Sn=126列方程求n.2.典例2中，是否可以直接利用公式Sn=根据条件S3+S6=S9转化为关于q的方程求解？提示：不可以.应分q=1和q≠1两种情况讨论.n1a(1q)1q，【解析】1.因为=2，所以数列{an}是首项a1=2，公比q=2的等比数列，Sn==126，即2n+1=128，解得n=6.答案：6n1naan212122.若q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1，显然满足S3+S6=S9，所以q=1符合题意；若q≠1，则有解得q=-1，所以所求公比q=±1.369111a1qa1qa1q1q1q1q，【延伸探究】典例2条件“S3+S6=S9”改为“S2=7，S6=91”，其他条件不变，结果如何？【解析】因为S2=7，S6=91，易知q≠1，所以所以所以q4+q2-12=0，所以q2=3，q=±.161a1q7a1q911q，，241a1q1q1qq911q，3【方法技巧】等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换.【变式训练】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求n和公比q的值.【解析】方法一：在等比数列{an}中，a1an=a2an-1=128.又a1+an=66，所以1n1naa66aa128，，解得或所以q≠1.由an=a1qn-1和1na2a64，1na64a2，，n1na1qS1261q，n1n1nn2q6464q221q641q1261261q1qn6n61q2q.2，，得或，，，解得或方法二：当q=1时，经检验不合适，由题意可得由②可得qn-1=代入①，得n112n11n1a1q66aq128a1q1261q，①，②，③21128a，121128a(1)66a，化简得a12-66a1+128=0，解得a1=2或a1=64.当a1=2时，得qn-1=32，将a1=2和qn-1=32代入③，得=126，解得q=2.又qn-1=32，即2n-1=32=25，所以n=6.2132q1q同理，当a1=64时，可解得q=，n=6.综上所述，n的值为6，q=2或.1212【补偿训练】等比数列{an}的首项a10，公比q0，前n项和Sn=80，其中最大的一项为54，前2n项和S2n=6560，求a1和q.【解析】由Sn=80，S2n=6560知q≠1.所以所以qn=81，因为q0，所以q1，又a10.n12n1a1q801qa1q65601q，①，②所以该数列为递增数列.所以前n项中最大的项为an，所以an=a1qn-1=54，又qn=81，所以3a1=2q，将qn=81代入①得a1=q-1，所以a1=2，q=3.类型三等比数列