人教版高中数学必修五同课异构课件25第1课时等比数列的前n项和情境互动课型

2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活中，发现了64格棋（也就是现在的国际象棋）的有趣和奥妙，决定要重赏发明人——他的宰相西萨•班•达依尔，让他随意选择奖品.宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他四粒麦子……依此类推，每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求.实际上国王能满足宰相的要求吗？？1.掌握等比数列的前n项和公式.(重点）2.掌握前n项和公式的推导方法.（重点）3.对前n项和公式能进行简单应用.（难点）S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1(1+q+q2+q3)探究：等比数列的前n项和公式12313(1)(1)(1)11aqqqaqSqq1212(1)(1)(1)11aqqaqSqq观察：1(1)(1)1nnaqSqq猜想得：Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②①-②得：Sn(1-q)=a1-a1qn当q≠1时，1(1).1nnaqSq等比数列{an}的前n项和11,1(1).11nnnaqSaqqq有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，问题1：a1=1,q=2,n=64.可得:S64=估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.64641(1-2)=2-1()=18446744073709551615()1-2粒粒1.注意q=1与q≠1两种情形2.q≠1时，nnnaaqa(q)Sqq111113.五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知三求二”问题.11,1(1).11nnnaqSaqqq等比数列的前n项和公式等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为()A．1＋a1－an－11－aB.1－an1－aC.an＋1－1a－1D．以上皆错【即时练习】【解析】选D.要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n.19例求下列等比数列前8项的和:111（1）,,,.2481（2）a＝27，a＝，q0.243为18888111因a=,q=,n=8，2211111-1-22221255所以S===1-=.1122561-22解:当时81988112由a=27,a=,可得＝27×q,243243又由q0,可得1q=-,31271--31640于是n=8，S==.1811--3在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn；解：(1)由题意知a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5，q＝5或a1＝180，q＝－56，从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.【变式练习】1．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100-1B．1-2100C．299-1D．1-299【解析】选C.a1＝1，q＝2，∴S99＝1×1－2991－2＝299－1.C2．若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1，则其公比为__________．【解析】由题知1－q31－q＝13,1＋q＋q2＝13，q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4.答案：3或-43或－43.（2015·全国卷Ⅰ）数列na中112,2,nnnaaaS为na的前n项和，若126nS，则n=.【解析】∵112,2nnaaa，∴数列na是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612nnS，∴264n，∴n=6.答案：64.2+(2+22)+(2+22+23)+…+(2+22+23+…+210）=__________.212－245.(2014·福建高考)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an.(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)设{an}的公比为q，依题意得a1q＝3，a1q4＝81，解得a1＝1，q＝3.因此，an＝3n－1.(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}为等差数列，其前n项和Sn＝n（b1＋bn）2＝n2－n2.12nnSaaa=++鬃?错位相减法通项公式nnSanqa,,,1求和公式知三求二等比数列的前n项和公式等比数列前n项和公比适用公式q=1q≠1n11Sna(a0)n1n1a1qS(a0,q0)1q1nn1aaqS(a0,q0)1q勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。