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第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小【知识提炼】1.不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号_____________或___.(2)所表示的关系是_________.，≤，，≥≠不等关系2.比较两实数a，b大小的依据a＞ba＜ba=b它们的差a-b与0【即时小测】1.思考下列问题(1)不等关系与不等式有什么区别？提示：不等关系是量与量之间的关系，而不等式是表示不等关系的式子.(2)当x=3时，x≥3成立吗？提示：当x=3时，x≥3成立.实际上，x≥3的含义是x3或x=3.当x3和x=3中有一个成立时，x≥3成立.2.下列式子中不等式的个数为()(1)32.(2)a2+13.(3)3x2+x.(4)a+b≠c.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由不等式的定义知(1)(2)(4)中的式子是不等式，而(3)中的式子不是不等式.3.下列说法正确的是()A.a不是负数，则a0B.b是不大于0的数，则b0C.m不小于-1，则m-1D.a+b是负数，则a+b0【解析】选D.A错误.a不是负数，则a≥0；B错误.b是不大于0的数，则b≤0；C错误.m不小于-1，则m≥-1；D正确.4.下列不等式中恒成立的是________.①m-3m-5②5-m3-m③5m3m④5+m5-m【解析】m-3-m+5=20，故①恒成立；5-m-3+m=20，故②恒成立；5m-3m=2m，无法判断其符号，故③不恒成立；5+m-5+m=2m，无法判断其符号，故④不恒成立.答案：①②5.雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t℃，那么应满足的关系式为________.【解析】由题意得4.5t28000.答案：4.5t28000【知识探究】知识点1不等关系与不等式观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：常见的表示不等关系的符号有哪些？问题2：不等关系的常见类型有哪些？【总结提升】1.不等关系与不等式的区别(1)不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用文字：大于、小于、不等于、大于等于、小于等于或符号：、、≠、≥、≤表示.(2)不等式则是用不等符号来表示不等关系的式子，可用“ab”“ab”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的.2.四类常见的不等关系(1)常量与常量之间的不等关系，如100g砝码的质量大于50g砝码的质量.(2)变量与常量之间的不等关系，如某儿童的身高hm小于或等于1.3m.(3)变量与变量之间的不等关系，如当xa时，销售收入f(x)大于销售成本g(x).(4)一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用35x与购置椅子的费用25y的和不超过3200元.知识点2两数(式)比较大小观察图形，回答下列问题：问题1：“≥”和“≤”的含义分别是什么？问题2：比较两个实数大小的基本原理是什么？【总结提升】1.关于a≥b和a≤b的含义(1)不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是ab或a=b，等价于“a不小于b”，即若ab或a=b中有一个正确，则a≥b正确.(2)不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是ab或a=b，等价于“a不大于b”，即若ab或a=b中有一个正确，则a≤b正确.2.对实数比较大小的说明在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示(如图所示)，可以看出a，b之间具有以下性质：(1)如果a-b是正数，那么ab，如图1.(2)如果a-b等于零，那么a=b，如图2.(3)如果a-b是负数，那么ab，如图3.反之也成立，就是a-b0⇔ab；a-b=0⇔a=b；a-b0⇔ab.上面等价符号的左式反映的是实数的运算，右式反映的是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.【题型探究】类型一用不等式(组)表示不等关系【典例】1.如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________.2.商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件.若把提价后的商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？【解题探究】1.典例1中，哪个图的面积大？提示：图1的面积大.2.典例2中，利润的计算公式是什么？售价和销售量之间有什么关系？蕴含的不等关系是什么？提示：利润=(售价-进价)×销售量；销售量=原销售量-减少量；蕴含的不等关系是每天的利润大于等于300元.【解析】1.图1所示的广告牌的面积为，图2所示的广告牌的面积为ab，显然不等式表示为(a2+b2)ab.答案：ab221(ab)2221(ab)2122.若提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x-8)[100-10(x-10)]≥300.x101【方法技巧】1.将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.2.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言≥≤【变式训练】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.【解题指南】有3个不等关系：总资金小于等于1000万元；A型汽车数量大于等于5；B型汽车数量大于等于6.A型汽车和B型汽车的数量的取值范围都是正整数集.【解析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，40x90y10004x9y100x5x5y6y6xyN*.xyN*.，，，，则即，，，，【补偿训练】某蔬菜收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8t，运费960元，每辆农用车载重2.5t，运费360元，据此，安排两种车型，应满足哪些不等关系，请列出来.【解析】设租用大卡车x辆，农用车y辆，8x2.5y1000x100y20xZyZ.，，，，类型二作差法比较两数(式)的大小【典例】若实数a，b，c满足b+c=5a2-8a+11，b-c=a2-6a+9，试比较a，b，c的大小.【解题探究】本题中为判断b与c的大小，需要对哪个已知代数式进行怎样的变形？为判断a与c的大小，需要先推出什么关系？用什么方法比较大小？提示：判断b与c的大小，需要对b-c=a2-6a+9进行配方变形.为判断a与c的大小，需要先消去b推出a与c的关系，用作差法比较大小.【解析】因为b-c=a2-6a+9=(a-3)2≥0，所以b≥c.由由①+②得b=3a2-7a+10，因为b-a=3a2-7a+10-a=3a2-8a+10=所以ba.22bc5a8a11bca6a9，①，②24143(a)033，由①-②得c=2a2-a+1，所以c-a=2a2-2a+1=所以ca.综上：b≥ca.2112(a)022＞，【延伸探究】1.(变换条件)本例条件中的“5a2-8a+11”改为“6-4a+3a2”，“a2-6a+9”改为“-4+4a-a2”，其他条件不变，结果如何？【解析】因为c-b=-(b-c)=4-4a+a2=(2-a)2≥0，所以c≥b.因为2b=(b+c)+(b-c)=2a2+2，所以b=a2+1，所以b-a=a2-a+1=所以ba，所以c≥ba.213(a)024＞，2.(变换条件、改变问法)本例条件中的“5a2-8a+11”改为“x3”，“a2-6a+9”改为“x2-x+1”，其他条件不变，试讨论c的符号.【解析】2c=(b+c)-(b-c)=x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1).因为x2+10，所以当x1时，(x-1)(x2+1)0，即c0；当x=1时，(x-1)(x2+1)=0，即c=0；当x1时，(x-1)(x2+1)0，即c0.【方法技巧】作差法比较大小的步骤【补偿训练】已知m∈R，ab1，f(x)=，试比较f(a)与f(b)的大小关系.【解析】因为所以2mxx122mambfafba1b1，，222mambabfafbm()a1b1a1b122ab1ba1ma1b1bama1b1，当m=0时，f(a)=f(b)；当m≠0时，m20，又因为ab1，所以a-10，b-10，b-a0，所以f(a)f(b)，综上所述，f(a)≤f(b).【延伸探究】1.(变换条件)本题条件改为m0，ab，a+b=m-1，f(x)=mx2+2mx+4，结果又如何？【解析】f(a)-f(b)=(ma2+2ma+4)-(mb2+2mb+4)=m(a2-b2)+2m(a-b)=m(a-b)(a+b+2)=m(a-b)(m+1)因为m0，ab，所以m(a-b)(m+1)＜0，所以f(a)f(a).2.(变换条件、改变问法)本题条件改为f(x)=a2(x-b)+x2b，g(x)=b2(x-a)+x2a，且f(m)g(m)，那么关系式amb是否可能成立？请说明你的理由.【解析】不可能成立.因为f(m)g(m)，所以f(m)-g(m)0，所以a2(m-b)+m2b-b2(m-a)-m2a0，(b-a)m2+(a2-b2)m+ab(b-a)0.所以(b-a)(m-a)(m-b)0.(*)若amb成立，则b-a0，m-a0，m-b0，于是(b-a)(m-a)(m-b)0.这与不等式(*)矛盾.故amb不可能成立.易错案例作差法比较大小【典例】甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A.甲先到教室B.乙先到教室C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是作差后变形不恰当导致无法判断差的符号.实际上s(v1+v2)2-4sv1v2=s(v12+2v1v2+v22-4v1v2)=s(v1-v2)2.【自我矫正】选B.设步行速度与跑步速度分别为v1和v2，显然0v1v2，总路程为2s，则甲用时间为设乙用时间为t，则v1·+v2·=2s，12ssvv，t2t2所以乙用时间为故故乙先到教室.124svv，12122121212122121212ss4svvvvsvv4svvvvvvsvv0vvvv而，1212ss4svvvv，【防范措施】1.注意作差后的合理变形利用“作差法”比较两数(式)的大小，关键是“变形”这一环节.通常是利用通分、配方、分解因式等手段将差式化为若干个数(式)平方和的形式，或若干个因式积(或商)的形式，以有利于差式符号的判断.2.符号的判断在判断差的符号时，一定要明确有关数(或式)的符号是正数、负数，还是非正数、非负数，要力求精确.