人教版高中数学必修五同课异构课件312不等式的性质探究导学课型

第2课时不等式的性质1.掌握不等式的有关性质.2.会利用不等式的性质比较两个数或代数式的大小；会利用不等式的性质证明简单的不等式.不等式的性质(1)对称性：性质1ab⇔b__a.(2)传递性：性质2ab，bc⇒a__c.性质3ab⇒a+c__b+c；性质4ab，c0⇒ac__bc；ab，c0⇒ac__bc；(3)运算性质：性质5ab，cd⇒a+c__b+d；性质6ab0，cd0⇒ac__bd；性质7ab0⇒an__bn(n∈N，n≥1)；性质8ab0⇒__(n∈N，n≥2).nanb1.已知a+b0，b0那么a，b，-a，-b的大小关系是()A.ab-b-aB.a-b-abC.a-bb-aD.ab-a-b【解析】选C.由a+b0知a-b，-ab.又b0，所以-b0，所以a-bb-a.2.若6a8，12b16，则的范围是_____.【解析】由12b16，得所以即答案：ab11116b12，6a816b12，3a2.8b332()83，3.若ab0，cd0，则与的大小关系是_______.【解析】因为cd0，所以所以所以答案：adbc110dc，ab0dc，ab.dcabdc4.若0ab，则a3，b3的大小关系为.【解析】由ba0，所以b2a20，因此b3a3.答案：b3a3不等式的性质探究1：两个同向不等式相加，不等号方向不变，那么两个同向不等式相减，不等号的方向变化吗？提示：同向不等式具有可加性，但同向不等式不具有可减性，如：83，-2-9，但8-(-2)3-(-9).探究2：我们知道，若ab0，cd0，则acbd.那么，如果ab0，cd0，则ac与bd的大小关系如何？提示：因为ab0，cd0，所以-a-b0，-c-d0，所以有-c×(-a)-d×(-b)，即：acbd.探究3：已知m1an1，m2bn2，如何求a+b及a-b的范围.提示：由同向不等式的可加性及m1an1，m2bn2知m1+m2a+bn1+n2；又因为-n2-b-m2，所以m1-n2a-bn1-m2.【探究总结】1.不等式性质的注意点(1)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件，如ab⇒acbc，只有c0时该结论才成立，否则不成立.(2)注意不等式的互推性，有些性质是单向的，有些是双向的.2.应用不等式的性质时应注意的问题(1)利用不等式的性质证明不等式时要注意不等式的性质成立的条件，如果不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行转化.(2)利用不等式的性质求代数式范围时，一是要合理、准确地使用不等式的性质，二是要注意题设中的条件，特别注意题中的隐含条件.【拓展延伸】等式的性质与不等式的性质的区别与联系等式的性质不等式的性质a=b⇔b=aab⇔baa=b，b=c⇒a=cab，bc⇒aca=b⇔a+c=b+cab⇔a+cb+ca=b⇒ac=bcab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbca=b，c=d⇒a+c=b+dab，cd⇒a+cb+da=b，c=d⇒ac=bdab0，cd0⇒acbda=b≥0⇒an=bnab0⇒anbnnnab0abnnab0ab(注：上面表格中n∈N，n≥2.)类型一不等式性质的理解1.(2014·山东高考)已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.B.ln(x2+1)ln(y2+1)C.sinxsinyD.x3y32211x1y12.给出下列结论：①若acbc，则ab；②若ab，则ac2bc2；③若0，则ab；④若ab，cd，则a-cb-d；⑤若ab，cd，则acbd.其中正确的结论的序号是.1a1b【解题指南】1.本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断x，y的大小，然后判断每个选项.2.根据不等式的性质对每一结论逐一判断.【自主解答】1.选D.由axay(0a1)知，xy，所以y=在(-∞，0)上递增，在(0，+∞)上递减，A无法判断.y=ln(x2+1)在(-∞，0)上递减，在(0，+∞)上递增，B无法判断.y=sinx为周期函数，C无法判断.D，y=x3在R上为增函数，x3y3正确.21x12.①当c0时，由acbc可得ab，当c0时，由acbc可得ab，故①错；②当c≠0时，由ab可得ac2bc2，当c=0时，由ab得不出ac2bc2，故②错；③因为0，所以a0，b0，所以ab0，所以·ab·ab，即ab，③正确；1a1b1a1b④因为cd，所以-c-d，又ab，两个不等式的方向不同向，不能相加，所以a-cb-d错误；⑤a=3，b=2，c=-3，d=-4满足条件，但acbd不成立，故⑤错误.答案：③【规律总结】利用不等式判断正误的两种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可.(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.【变式训练】若a，b，c，d均为实数，且有下列结论：甲：若ab0，则acbc；乙：若ab，则a-cb-c；丙：若，ab0，则bcad；丁：若ab，cd，cd≠0，则.以上结论中错误的个数是()A.0B.1C.2D.3cdababcd【解析】选C.甲错，因为c=0时，ac=bc=0；乙正确，因为ab，由不等式的性质两边同减去一个数后不等号方向不变；丙正确，由，ab0，所以ab·ab·，即bcad；丁错，a=7，b=6，c=-2，d=1时，不成立.cdabcadbabcd【加固训练】已知0a1，给出下列4个不等式①loga(1+a)loga②loga(1+a)loga③④其中正确的序号是()A.①③B.①④C.②③D.②④1(1)a；1(1)a；111aaaa；111aaaa.【解析】选D.方法一：因为loga(1+a)－loga(1+)=loga=logaa=10，所以loga(1+a)loga(1+)，所以②正确，①错误.因为0a1，所以a1+a0，0，因为因为0a1，所以a－0，所以所以所以③错误，④正确.1a1a11a1a11aa11aaa11aaaa－，1a1aaa1－，111aaaa，方法二：取a=，则loga(1+a)=因为y=logx和y=都是减函数，所以所以①③错误.12123log2，1311a3a2a12111log(1)log3a()a()a22，，，12x1()23321122311loglog3()()222，，类型二不等式的性质的应用1.已知α∈(0，)，β∈(，π)，则α-2β的范围为.2.已知ab0，cd0，e0，求证ee.acbd22【解题指南】1.先求出-2β的范围，再根据不等式的性质求α-2β的范围.2.欲证明因为e0，所以只需证明如果a-c与b-d同号，那么只需证明a-cb-d.eeacbd，11.acbd【自主解答】1.因为βπ，所以-2π-2β-π，又因为0α，所以-2πα-2β-.答案：(-2π，-)2.因为cd0，所以-c-d0.因为ab0，所以a-cb-d0，所以0.又e0，所以11acbdee.acbd2222【延伸探究】题2中的条件“e0”若改为“e0”，其他条件不变，试证明【证明】因为cd0，所以-c-d0.又因为ab0，所以a-cb-d0.所以又e0，所以ee.acbd110.acbdee.acbd【规律总结】1.不等式证明常用的方法(1)根据已知条件，借助于不等式的性质，对所要证明的不等式变形得证.(2)利用比较法证明，即对所要证明的不等式两边作差，然后通过变形，通过判断符号得证.2.求解代数式范围应注意的问题当问题中含有两个变量时，要注意两个变量的相互制约，不能分开，应建立待求整体与已知变量之间的等量关系，然后求得待求整体的范围.