人教版高中数学必修五同课异构课件332简单的线性规划问题1精讲优练课型

3.3.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题【知识提炼】线性规划中的基本概念名称定义目标函数要求_______________的函数，叫做目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的___________最大值或最小值不等式(组)名称定义线性目标函数如果目标函数是___________________，则称为线性目标函数线性约束条件如果约束条件是______________________________，则称为线性约束条件线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的________________问题，称为线性规划问题关于变量的一次函数关于变量的一次不等式(或等式)最大值或最小值名称定义最优解使目标函数达到_______________的点的坐标，称为问题的最优解可行解满足线性约束条件的解，叫做可行解可行域由所有_______组成的集合叫做可行域最大值或最小值可行解【即时小测】1.思考下列问题(1)最优解表示的点一定是可行域中的孤立的点吗？提示：不一定.当线性目标函数对应的直线与可行域多边形的一条边平行时，最优解表示的点可能是一条直线或一条线段.(2)若将目标函数z=x+y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？提示：把目标函数整理可得y=-x+z，z为直线在y轴上的截距.2.下面给出的四个点中，满足约束条件的可行解是()A.(0，2)B.(-2，0)C.(0，-2)D.(2，0)xy10xy10，【解析】选C.判断已知点是不是满足约束条件的可行解，只需将四个点的坐标代入不等式组进行验证，若满足则是可行解，否则就不是.经验证知满足条件的是点(0，-2).xy10xy10，3.在约束条件下，目标函数z=10x+y的最优解是()A.(0，1)，(1，0)B.(0，1)，(0，-1)C.(0，-1)，(0，0)D.(0，-1)，(1，0)xy10xy1x0，，【解析】选D.作出可行域如图，使目标函数取得最大、最小值的点分别是(1，0)和(0，-1).4.将目标函数z=2x-y看成直线方程时，则该直线的纵截距等于________.【解析】由目标函数可得y=2x-z，故该直线的纵截距为-z.答案：-z5.已知x，y满足约束条件则z=2x+4y的最小值为________.xy50xy0x3，，，【解析】画出约束条件所表示的平面区域如图所示：作出直线2x+4y=0，并平移至过点A处时z=2x+4y取得最小值.由方程组得A(3，-3)，所以zmin=2×3+4×(-3)=-6.答案：-6xy0x3，，【知识探究】知识点简单的线性规划问题观察图形，回答下列问题：问题1：目标函数与线性目标函数有何不同？问题2：可行域所表示的区域是怎样的图形？【总结提升】1.对线性规划有关概念的三点说明(1)线性约束条件包括两点：一是关于变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数.(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的平面区域(或其内部一些点)，可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域.2.对目标函数z=Ax+By+C(A，B不全为0)的理解当B≠0时，由z=Ax+By+C得y=这样，二元一次函数就可以视为斜率为-，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行线.于是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题.AzCx.BBABzCB(1)当B0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大.(2)当B0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.【题型探究】类型一线性目标函数的最值问题【典例】1.(2015·安徽高考)已知x，y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.1xy0xy40y1，，，2.已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x-y的取值范围是()A.[-2，-1]B.[-2，1]C.[-1，2]D.[1，2]x20y10x2y20，，【解题探究】1.典例1中满足约束条件的可行域是一个什么样的图形？应怎样求最大值？提示：可行域是一个三角形，利用数形结合计算求值.2.典例2中要求z=x-y的取值范围，只要求得目标函数的什么值？提示：要求z=x-y的取值范围，只要分别求出该目标函数的最大值和最小值即可.【解析】1.选A.根据题意画出约束条件确定的可行域，如图所示：因为z=-2x+y，则y=2x+z，可知过图中点A(1，1)时，z=-2x+y取得最大值-1，故选A.2.选C.作出可行域，如图：因为目标函数z=x-y中y的系数-10，而直线y=x-z表示斜率为1的一组直线，所以当它过点(2，0)时，在y轴上的截距最小，此时z取得最大值2；当它过点(0，1)时，在y轴上的截距最大，此时z取得最小值-1，所以z=x-y的取值范围是[-1，2].【方法技巧】用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤(1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答：写出答案.【变式训练】(2015·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为()A.7B.8C.9D.14x20x2y0x2y80，，，【解析】选C.画出约束条件表示的可行域，如图所示，由得A(2，3).当直线z=3x+y过点A时，z取得最大值9.x20x2y0x2y80，，，x20x2y80，，类型二非线性目标函数的最值问题【典例】1.已知x，y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是()2.(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________.x03x4y4y0，，，224A.B.21C.D.1525x10xy0xy40，，，yx【解题探究】1.典例1中x2+y2+2x的几何意义是什么？提示：因为x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1，故其几何意义为可行域上的点到定点C(-1，0)的距离的平方减1.2.典例2中具有怎样的几何意义？提示：在约束条件内的点与原点两点连线的斜率.yx【解析】1.选D.画出可行域如图所示，由于x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1，而(x+1)2+y2表示可行域上一点到定点C(-1，0)的距离的平方，由图可知|AC|最小，所以x2+y2+2x的最小值为22|AC|1211．2.作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.答案：3yxyx【延伸探究】1.(变换条件)典例2中若将约束条件变为其他条件不变，结果如何？xy20x2y402y30，，，【解析】如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，令u=，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率，即u=由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，u最大，由得所以umax=，所以yxy0.x0x2y402y30，，3C(1)2，，32maxy3()x2．2.(变换条件，改变问法)典例2中若将约束条件变为求的最大值？【解题指南】由可知此式的几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(-2，-1)相连的直线l的斜率.xy20x2y402y30，，，y1x2y1x2【解析】如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，令u=，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与定点(-2，-1)相连的直线l的斜率.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，u最大，由得所以umax=，所以y1x2x2y402y30，，3C(1)2，，56maxy15()x26．【方法技巧】非线性目标函数的最值的求解策略(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方；特别地，z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.(2)z=型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.(3)z=|Ax+By+C|可转化为点(x，y)到直线Ax+By+C=0的距离的倍.ybxa22AB【补偿训练】实数x，y满足约束条件试求z=的最小值.【解析】作出可行域，如图所示.xy10x0y2，，，yxz=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的最小值为连线OB的斜率，由得B(1，2)，则kOB==2，所以z最小值=2.yxyxxy10y2，，21【延伸探究】1.(改变问法)本题的条件不变，如何求z=的取值范围呢？【解析】z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)，而由得B(1，2)，则kOB==2，所以zmax不存在，zmin=2，故z的取值范围为[2，+∞).yxyx21yxxy10y2，，2.(变换条件)若本题条件不变，如何求z=x2+y2的取值范围？【解析】z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点间距离的平方，因此x2+y2的最小值为|OA|2(取不到)，最大值为|OB|2，由得A(0，1)，所以所以z的最大值为5，没有最小值，故z的取值范围是(1，5].22222222|OA|011OB|125，|，xy10x0，，类型三已知目标函数的最值求参数问题【典例】1.(2015·山东高考)已知x，y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4，则a=()A.3B.2C.-2D.-3xy0xy2y0.，，2.(2015·福建高考)变量x，y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2，则实数m等于()A.-2B.-1C.1D.2xy0x2y20mxy0.，，【解题探究】1.典例1需要分情况讨论吗？提示：首先画出可行域，分情况讨论可得正确结果；还可以结合选择题的特点直接将选项代入验证.2.典例2中目标函数z=2x-y在哪个位置取到最大值？提示：结合图形，对m分析，可知目标函数在的解处取到最大值.x2y20mxy0，【解析】1.选B.由约束条件可画可行域如图，解得A(2，0)，B(1，1).若过点A(2，0)时取最大值4，则a=2，验证符合条件；若过点B(1，1)时取最大值4，则a=3，而若a=3，则z=3x+y最大值为6(此时A(2，0)是最大值点)，不符合题意.(也可直接代入排除)2.选C.如图所示，当m≤0时，比如在①的位置，此时为开放区域无最大值，当m2时，比如在②的位置，此时在原点取得最大值不满足题意，当0m2时，比如在③的位置，此时在点A取得最大值，所以代入得m=1.x2y20mxy0，22mA()2m12m1，【延伸探究】若将典例1中的“z=ax+y的最大值为4”改为“z=ax+y的最小值为-4”，其他条件不变，则结果如何？【解析】由约束条件可画可行域如图：解得A(2，0)，B(1，1).若过点A(2，0)时取最小值-4，则a=-2，验证符合条件；若过点B(1，1)时取最小值-4，则a=-5，而若a=-5，则z=-5x+y最小值为-10(此时A(2，0)是最小值点)，不符合题意.(也可直接代入排除)【方