人教版高中数学必修五同课异构课件34基本不等式1探究导学课型

3.4基本不等式：第1课时基本不等式abab21.理解基本不等式及其证明过程.2.能用基本不等式证明不等式及比较大小.重要不等式与基本不等式(1)重要不等式：a2+b2___2ab，条件：a，b∈R；“=”成立的条件是：____.(2)基本不等式：_________，条件：a0，b0，“=”成立的条件是____.(3)有关概念：____叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数.≥a=babab2a=bab2ab1.a，b，c是互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列关系中可能成立的是()A.abcB.bcaC.bacD.acb【解析】选C.因为a，c均为正数，且a≠c，所以a2+c22ac，又因为a2+c2=2bc，所以2bc2ac，所以ba，可排除A，D.取a=1，b=2，则有c2-4c+1=0，解得c=2±，当c=2-时，有bac.332.不等式a+1≥2(a0)中等号成立的条件是.【解析】a+1≥2可变形为等号成立的条件为a=1.答案：a=1aaa1a12，3.若P=x2+1，Q=2x，则P与Q的大小关系是.【解析】根据重要不等式知P=x2+1≥2x，故P≥Q.答案：P≥Q基本不等式探究1：观察如图所示图形，其中AB是☉O的直径，点C是AB上的一点，CD⊥AB，AC=a，BC=b，据此思考下列问题：(1)用a，b如何表示CD？提示：由条件知Rt△ACD∽Rt△DCB，所以CD2=CA·CB，所以CD=.(2)AB与DE的大小关系怎样？提示：AB≥DE.ab(3)成立吗？提示：成立.因为AB≥DE，即a+b≥2，所以(4)C点在何位置时，上述不等式等号成立？提示：当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.abab2ababab.2探究2：根据基本不等式及其成立的条件，回答下列问题：(1)若a，b同号，则的关系如何？提示：当a，b0时，当a，b0时，－a，－b0，abab2与abab2；abababababab.222－－所以－－－－－，即(2)当a，b异号时，不等式成立吗？提示：一定不成立，因为当a，b异号时，ab0，所以无意义，故不等式一定不成立.abab2ab【探究总结】对基本不等式的四点说明(1)“当且仅当”的含义是a=b⇔(2)基本不等式的几何意义是：圆的半径不小于垂直于直径的半弦长.(3)基本不等式亦可表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(4)基本不等式与不等式a2+b2≥2ab成立的条件不同，前者是a，b∈R+，后者是a，b∈R.abab.2abab2【拓展延伸】基本不等式的常用结论(1)当x0时，x+≥2；当x0时，x+≤－2.(2)当ab0时，当ab0时，(3)若a，b∈R，则≥ab，当且仅当a=b时，等号成立.(4)若a，b∈R+，则当且仅当a=b时，等号成立.即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.1x1xba2ab；ba2.ab－222abab()2222abab2ab1122ab，类型一利用基本不等式比较大小1.(2014·济宁高二检测)设a0，b0，则下列不等式中，不成立的是()2.若a＞b＞1，P=Q=(lga+lgb)，R=试比较P，Q，R的大小关系.22111A.ab22B.ab()4ababab2abC.abD.ababablgalgb，12ablg2，【解题指南】1.对每一选项利用基本不等式逐一判断.2.在ab1的条件下，可得lgalgb0，进而可利用基本不等式比较P与Q的大小；再根据基本不等式及对数函数的单调性得出Q与R的大小.【自主解答】1.选D.对于A：不等式成立.对于B：因为相乘得成立.对于C：因为又成立.对于D：因为11ab2ababab122ab22ab，111ab2ab020.abab，11ab()4ab222222abababab2abab2()2()22，22ab12ababab2ababab，所以11ab2abab2ab，2ab2ab2ababab.abab2ab所以，即不成立2.因为a＞b＞1，所以lga＞lgb＞0，所以Q=(lga+lgb)＞=P；Q=所以P＜Q＜R.12lgalgb1ablgalgblgalgblgablgR.22＜【规律总结】利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性).(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a0，b0.【变式训练】已知a，b，c都是非负实数，试比较与(a+b+c)的大小.【解析】因为a2+b2≥2ab，所以2(a2+b2)≥(a+b)2，22ab2222bcca22222222222222222222abab222bcbccaca222abbccaabbcca2abbcca2abcabc.所以，同理，，所以［］，即，当且仅当时，等号成立类型二利用基本不等式证明不等式1.(2014·天津高二检测)设a，b是正实数，以下不等式：①②a|a-b|-b；③a2+b24ab-3b2；④ab+2.其中恒成立的是()A.①③B.①④C.②③D.②④2.设a，b，c都是正数，试证明不等式：2ababab；2abbccaab6.abc【解题指南】1.根据基本不等式及其变形形式证明.2.原不等式左边可化为再利用基本不等式证明.bacabc()()()abaccb，【自主解答】1.选D.由题知，a0，b0.①中可化为a+b缺少两者相等的情况，故①错误.②中，因为a+b|a-b|成立，所以a|a-b|-b，故②正确.③中a2+b24ab-3b2，可化为a2+4b24ab，由基本不等式知，缺少两者相等的情况，故③错误.④中，故④正确.2ababab2ab，22ab2ab222abab，2.因为a0，b0，c0，所以所以≥6，当且仅当即a=b=c时，等号成立.所以≥6.bacabc222abaccb，，，bacabc()()()abaccbbacacbabacbc，，，bccaababc【延伸探究】在题2条件不变的情况下，证明ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.【证明】因为a，b，c都是正数，所以ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2=(a2b+bc2)+(b2c+ca2)+(c2a+ab2)≥=6abc，所以原不等式成立，当且仅当a=b=c时，等号成立.2222222222abc2abc2abc【规律总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)基本不等式成立的前提条件.(2)通过加减项的方法拼凑成可以使用基本不等式的形式.(3)注意“1”的代换.(4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形形式的运用.提醒：(1)多次使用基本不等式时，注意等号能否成立.(2)利用不等式性质累加时，注意等号成立的条件.【拓展延伸】基本不等式的推广设ai∈R+(i=1，2，…，n)，这n个数：(1)算术平均数An=(2)几何平均数Gn=(3)调和平均数Hn=(4)平方平均数Qn=则以上平均值的关系是：Hn≤Gn≤An≤Qn.12naaa.nn12naaa.12nn.111aaa22212naaa.n【变式训练】已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1，求证：【解题指南】其他同样放缩.111(1)(1)(1)8.abc1abcbc2bc11aaaa，【证明】因为a，b，c为正实数，且a+b+c=1，所以同理，上述三个不等式两边均为正，相乘得当且仅当a=b=c=时，取等号.11abc2bc1.aaaa12ac12ab11.bbcc，1112bc2ac2ab(1)(1)(1)8abcabc，13