应用举例一距离

高度角度距离面积例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在其所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形51o75o55m51o75o55m解：如图，因为在△ABC中，B=180o-(51o+75o)=54o所以由sinsinABACCB可得sin55sin7565.7()sinsin54ACCABmB答：A,B两点间的距离约为65.7米。例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。ABCD分析：设CD=a，∠BCA=a，∠ACD=b，∠CDB=g，∠ADB=dabgdaABCDabgda)sin()sin()(180sin)sin(dgbdgdgbdgaaAC)sin(sin)(180sinsingbaggbagaaBCacos222BCACBCACAB1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：练习1：一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，若30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？解：∵在△ASB中，∠ABS=180o-65o=115o∴∠ASB=180o-115o-20o=45o∵AB=0.5×32.2=16.1nmile∴由正弦定理可得sin16.1sin11520.63nmilesinsin45ABABSASASB故船与灯塔的最小距离d=20.63×sin20o≈7.06nmile所以这艘船可以继续沿正北方向航行答：这艘船可以继续沿正北方向航行.练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．0260最大角度最大角度最大角度最大角度解：依题意可知，在△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，∠CAB＝66°20′∴由余弦定理可得222222cos1.951.4021.951.40cos66203.571BCABACABACA)(89.1mBC答：顶杆BC约长1.89m。CABD思考：如图，一艘船从C处以30nmile/h的速度往北偏东15o的A岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶20min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又测得B岛在北偏西60o的方向，试求A岛与B岛的距离。6262(sin15,sin75)44解：依题意可得，∠BCD=45o，∠BDA=60o，∴∠CBD=∠BDA-∠BCD=15o，13010nmile3CD10sin45sin15BD由可得ABCD30o45o60oABCD30o45o60o20262BD6262(sin15,sin75)44ABCD30o45o60oABCD30o45o60o又∵∠BAD=180o-60o-15o=105osin60sin105sin75ABBDBD20246262106AB化简得106nmile.答：两岛的距离为思考：如图，一艘船从C处以30nmile/h的速度往北偏东15o的A岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶20min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又测得B岛在北偏西60o的方向，试求A岛与B岛的距离。192416PAPA作业：组第题，组第题实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明解应用题的基本思路例3、课本P19A组第1题解：依题意可知，在△ABC中BC=0.5×35=17.5nmile/h14812622ABC18014878110BCA已知⊿ABC中，三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若⊿ABC的面积为S,且2S=(a+b)²－c²,求tanC的值。在⊿ABC中，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试确定⊿ABC的形状。练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．0260（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得∠BCA=a，∠ACD=b，∠CDB=g，∠BDA=d，在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得)sin()sin()(180sin)sin(dgbdgdgbdgaaAC)sin(sin)(180sinsingbaggbagaaBC计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离acos222BCACBCACAB例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并在C、D两点处分别测得∠BCA=a，∠ACD=b，∠CDB=g，∠BDA=d练习1：一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABSBnmileSABhhSBnmilehnmile解：在中，＝，，由正弦定理得设点到直线的距离为则此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航行C解三角形问题的四种基本类型：（1）知两角及一边：（2）知两边及其中一边的对角：（3）知两边及其夹角：（4）知三边：75o55m解：如图，因为在△ABC中，B=180o-(51o+75o)=54o所以由sinsinABACCB可得sin55sin7565.7()sinsin54ACCABmB答：A、B两点间的距离约为65.7米。拓展：若在B的同侧还有一点D，现测得∠BAD=a，D51o