人教版高中数学必修五同课异构课件34基本不等式1精讲优练课型

3.4基本不等式：第1课时基本不等式abab2【知识提炼】重要不等式与基本不等式ab2a=b几何平均数算术平均数2ab【即时小测】1.思考下列问题(1)基本不等式中的a，b可以是代数式吗？提示：可以，但代数式的值必须是正数，否则不成立.(2)与是等价的吗？提示：不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，b∈R.abab22ab()ab22.下列不等式正确的是()222211A.a2B.a()2aa11C.a2D.a()2aa【解析】选C.因为a2+中a20，所以即所以a2+≥2，故选C.21a22221a1aa2a，2211(a)12a，21a3.下列不等式中，对任意实数x都成立的是()A.lg(x2+1)≥lgxB.x2+12xC.≤1D.logax+logxa≥2【解析】选C.A中，x≤0时不成立；在B中，x=1时不成立；对于D，当logax0时，logax+logxa无最小值，不正确；故选C.21x14.若不等式≥2恒成立，则当且仅当x=________时取“=”号.【解析】当且仅当即x2+1=1，x=0时取“=”.答案：022x2x1222222x2x111x12x1x1x1，221x1x1，5.有下列不等式(a0，b0)：①a2+12a；②≤2；③ab≤；④其中正确的有______.【解析】a2+1=a2+12≥2a，故①错；由≤2，可得a+b≤2，②显然错误；ab≤⇔2ab≤a2+b2，③正确；≤⇔2ab≤a2+b2，④正确.答案：③④abab2ab()2222abab().22ababab2ab()22ab()222ab2【知识探究】知识点基本不等式观察如图所示的内容，回答下列问题：问题1：基本不等式中对于a，b有何限定条件？问题2：如何用几何法推导出基本不等式？【总结提升】对基本不等式的理解(1)对于条件的理解①a，b必须为正数.②当a=b且只有在这唯一的条件下等号才成立.(2)几何解释以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a，CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，则CD=.如图所示：ab因为圆的半径为，所以≥，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立，则该定理又可以叙述为：半径不小于半弦.ab2ab2ab【题型探究】类型一对基本不等式的理解及其简单应用【典例】1.下列不等式①a2+12a；②a2+4≥4a；③≥2；④≤ab.其中恒成立的是()A.①④B.③④C.②③D.①②ba||ab22222abab2.(2015·营口高二检测)已知a0，b0，则下列不等式不一定成立的是()221Aab22ab11Bab()4ababC.abab2abD.abab．．【解题探究】1.典例1中如何判断④是否成立？提示：当a，b异号时，式子恒大于零，而ab0，故≤ab错误.2.典例2中解决此类问题可以采取何种方法？提示：除了利用基本不等式外，还可以利用特值法验证处理.22222abab22222abab【解析】1.选C.因为a2+1-2a=(a-1)2≥0，故a2+12a错误.由于a2-4a+4=(a-2)2≥0，所以a2+4≥4a恒成立；同号，所以≥2恒成立.当a，b异号时，式子恒大于零，而ab0，故≤ab错误.baab与ba||ab22222abab22222abab2.选D.对于A，当且仅当即a=b=时取等号，因此A成立；对于B，(a+b)≥当且仅当a=b时取等号，因此B成立；对于C，当且仅当a=b时取等号，因此C成立；对于D，取a=，b=1，验证知D不成立．11ab2ab22abab，ab12abab，，2211()ab12ab24ab，22222aba2abbababab，22abab14【方法技巧】应用基本不等式时的三个关注点(1)一正数：指式子中的a，b均为正数.(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.【变式训练】(2015·鞍山高二检测)下列各结论中正确的是()A.当a，b∈R时，B.当a1，b1时，lga+lgb≥C.当a4时，D.当ab0时，baba22abab2lgalgb99a2a6aa1ab2ab【解析】选B.a1，b1时，lga，lgb均为正数，所以lga+lgb≥成立.2lgalgb类型二利用基本不等式进行大小比较与不等式的证明【典例】1.(2015·四平高二检测)已知a0，b0，则中最小的是()22abab2abab22ab，，，22abab2abA.B.abC.D.22ab2.(2015·徐州高二检测)设a，b，c都是正数，求证：bcacababc.abc【解题探究】1.典例1中可采取哪些方法进行比较大小？提示：可采用特殊值法或利用基本不等式进行比较大小.2.典例2中如何利用基本不等式将变形？提示：因为a，b，c都是正数，所以也都是正数.所以bcacababcbcacababc，，bcacacabbcab2c2a2b.abbcac，，【解析】1.选D.方法一：特殊值法.令a=4，b=2，则所以最小.方法二：由可知最小.22abab2ab83ab810.22ab3，，，2abab2ab211abab，222ababab1122ab，2abab2.因为a，b，c都是正数，所以也都是正数.所以三式相加得即，当且仅当a=b=c时取等号.bcacababc，，bcacacabbcab2c2a2b.abbcac，，bcacab2()2abcabc，bcacababcabc【延伸探究】1.(变换条件)若将典例2改为“a，b，c都是负数，求证：bcacab(abc)abc【证明】因为a，b，c都是负数，所以也都是负数.所以三式相加得2()≤-2(a+b+c)，即，当且仅当a=b=c时取等号.bcacababc，，bcacbcacacabacab()2c()2aababbcbc，，bcabbcab()2bacac，bcacababcbcacab(abc)abc2.(改变问法)若典例2的条件不变，如何证明bcacbaabcacb？【解析】因为a，b，c都是正数，所以因此即当且仅当a=b=c时取等号.bcc2aba，babcaa22accbcb，，bcacba2()2()abcacb，bcacba.abcacb【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.【补偿训练】已知正数0a1，0b1且a≠b，则a+b，，2ab，a2+b2，其中最大的一个是()A.a2+b2B.C.2abD.a+b2ab2ab【解析】选D.因为0a1，0b1，a≠b，所以a+b，a2+b22ab，所以，最大的只能是a2+b2与a+b之一.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)，又0a1，0b1，所以a-10，b-10，因此a2+b2a+b，所以a+b最大.2ab易错案例利用基本不等式比较大小【典例】(2015·潍坊高二检测)给出下列结论：(1)若a0，则a2+1a.(2)若a0，b0，则(3)若a0，b0，则(a+b)≥4.(4)若a∈R且a≠0，则+a≥6.其中恒成立的是________.11(a)(b)4.ab11()ab9a【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是对基本不等式的适用条件没有理解透彻，在使用时前提是为正数.【自我矫正】因为所以a2+1a，故(1)恒成立.因为a0，所以a+≥2，因为b0，所以b+≥2，所以当a0，b0时，，故(2)恒成立.因为(a+b)=2+，又因为a，b∈(0，+∞)，2213a1a(a)024，1a1b11(a)(b)4ab11()abbaab所以≥2，所以(a+b)≥4，故(3)恒成立.因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件，故+a≥6是错误的.答案：(1)(2)(3)baab11()ab9a【防范措施】1.把握基本不等式适用的条件基本不等式适用的条件是“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，如本例忽视正实数，则会导致错选.2.对基本不等式的适用条件要理解透彻有些不等式尽管表面上看不符合基本不等式的适用条件，但经过变形后可以使用基本不等式，如(4)可分为当a0和当a0两种情况.