人教版高中数学必修五同课异构课件34基本不等式2探究导学课型

第2课时基本不等式的应用1.掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最值问题及实际问题.1.基本不等式与最值设x，y为正实数.(1)若x+y=s(定值)，则当________时，xy有最大值____.(2)若xy=p(定值)，则当_________时，x+y有最小值_____.sxy22s4xyp2p2.利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)x，y必须是_____.(2)求积xy的最大值时，应看和x+y是否为_____；求和x+y的最小值时，应看积xy是否为_____.正数定值定值1.已知x-2，则函数y=的最大值为()【解析】选C.因为x-2，所以x+20，故选C.12xx2A.22B.224C.224D.221y2x24x2122(x2)4224x2，2.若是2a与2b的等比中项，则ab的最大值为____.【解析】由已知条件知2a·2b=8得a+b=3，所以当且仅当a=b=时取等号.答案：2222ab39ab()()224，32943.把总长为16m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是m2.【解析】设一边长为xm，则另一边长可表示为(8-x)m，则面积S=x(8-x)≤=16，当且仅当x=4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4m时面积取到最大值16m2.答案：162x8x()2利用基本不等式求函数最值探究1：根据基本不等式“(x0，y0)，当且仅当x=y时，等号成立”，思考下列问题：(1)若x+y=xy，如何求x+y和xy的范围？xyxy2提示：因为所以xy≤又x+y=xy，所以x+y≤整理得(x+y)2－(x+y)≥0，从而可求得x+y的范围.因为xy≤x+y=xy，所以xy≤整理得(xy)2－4xy≥0，可求得xy的范围.xyxy2，2xy()2，2xy()2，142xy()2，2xy()2，(2)常用的构造定值条件的变换方法有哪些？提示：①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式.探究2：利用基本不等式解决实际问题中的最值，应注意哪些问题？提示：解实际问题要注意以下几点：①设变量时一般要把求最大或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【探究总结】利用基本不等式求函数最值的三个条件(1)正：函数的解析式中，各项均为正数.(2)定：函数解析式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值.(3)相等：函数的解析式中，含变量的各项均相等，取得最值时必须验证等号是否成立.简记为：一正二定三相等.【拓展延伸】求条件最值的方法求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式求最值时：①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键；②必须指出等号成立的条件.类型一利用基本不等式求最值1.(2014·临沂高二检测)若x1，则有()A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-12x2x2y2x2－－2.(2014·孝感高一检测)若正数x，y满足则3x+4y的最小值是()3.已知求函数的最大值.315xy，2428A.B.C.5D.6555x4，1y4x14x5【解题指南】1.对函数作适当的调整和转化，使其满足能够利用基本不等式的条件.2.由转化为然后与3x+4y相乘，利用基本不等式求解.3.将转化为其中两部分的积等于常数求解.2x2x2y2x2－－315xy，3115x5y，14x14x5【自主解答】1.选D.因为x1，所以x-10，所以故选D.2x2x2y2x2－－2x11x11x1122x122x122(x1)－－－－－－－1214－－，2.选C.由已知得所以(x=2y时等号成立).3.因为所以4x-50，故5-4x0.所以y≤-2+4=2，当且仅当即x=1或x=(舍)时，等号成立，故当x=1时，ymax=2.3115x5y，31133x12y3x4y3x4y()5x5y55y5x133x12y13122555y5x555x4，11y4x1(54x)4.4x554x1154x2(54x)254x54x因为，154x54x，32【延伸探究】若把题1中的条件“x1”改为“x1”.其他不变，则结论如何？【解析】选A.因为x1，所以x-10，所以故选A.2x2x2y2x2－－2x11x11x1112212x122x122x14－－－，－－－【规律总结】利用基本不等式求最值的方法及技巧(1)若“一正二定三相等”中的条件满足时，直接用公式求解.(2)若条件不满足时，则需对条件作适当调整和转化，使其满足上述三个条件方可利用基本不等式.(3)常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用不等式.类型二利用基本不等式求参数与代数式的范围1.(2014·晋江高一检测)当x-1时，不等式x+-1≥a恒成立，则实数a的最大值是.2.已知x0，y0，且=1，求x+y的最小值.19xy1x1【解题指南】1.只需x+-1的最小值大于等于a即可.故转化为求x+-1的最小值.2.要求x+y的最小值，根据基本不等式应构建两个数(式)的积为定值，因而需要对条件进行变形，可利用“1”的代换，亦可利用已知条件消元.1x11x1【自主解答】1.当x-1时，不等式x+-1≥a恒成立，因此只需h(x)=x+-1的最小值大于等于a成立即可；x+-1=(x+1)+-2≥-2=0，所以h(x)min=0，所以a≤0.答案：01x11x11x11x112x1x12.方法一：(1的代换)因为=1，所以x+y=(x+y)·因为x＞0，y＞0，所以当且仅当即y=3x①时，取“=”.又=1，②解①②可得x=4，y=12.所以当x=4，y=12时，x+y的最小值是16.19xy19y9x()10.xyxyy9xy9x26xyxy，y9xxy，19xy方法二：(消元法)由=1，得x=因为x＞0，y＞0，所以y＞9.所以=(y-9)++10.因为y＞9，所以y-9＞0，所以(y-9)+当且仅当y-9=即y=12时，取“=”，此时x=4，所以当x=4，y=12时，x+y的最小值是16.19xyy.y9yy999xyyyy1y9y9y99y9992(y9)6.y9y99y9，【规律总结】运用基本不等式求参数或代数式取值范围的类型及处理技巧(1)若已知等式，则要用基本不等式进行缩放，得出不等式，进而解出该不等式.(2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数式的最值，而求函数式的最值时，可能用到基本不等式.【变式训练】若abc，且恒成立，求m的取值范围.【解题指南】先将变形，再利用基本不等式求出m的取值范围.11mabbcac－－－11mabbcac－－－【解析】由abc，得a－b0，b－c0，a－c0，因此原不等式等价于m≤要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可，因为当且仅当即2b=a+c时，等号成立.所以m≤4.acacabbc－－，－－acacabbc－－－－acacabbc－－－－(ab)(bc)(ab)(bc)bcab2abbcabbc－－－－－－－－－－bcab224abbc－－，－－bcababbc－－，－－类型三利用基本不等式解实际应用题1.某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n层楼时，环境不满意度为，则此人应选()A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼8n2.某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元.(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f(x)的表达式(总开发费用=总建筑费用+购地费用).(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？【解题指南】1.建立关于n的函数，讨论其最小值.2.(1)根据每层建筑面积及每层每平方米的建筑费用的关系，得出总建筑费用，从而得出y=f(x)的表达式.(2)根据(1)中y=f(x)的表达式，把函数的解析式变换成两个数(式子)的积为定值的形式，然后利用基本不等式求解.【自主解答】1.选C.只需求不满意度n+的最小值.由均值不等式得n+≥4，当且仅当n=，即n=2≈3时，n+取得最小值.8n8n28n28n2.(1)由已知，写字楼最下层的总建筑费用为4000×2000=8000000(元)=800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多100×2000=200000(元)=20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，以20为公差的等差数列，所以函数表达式为f(x)=800x+×20+9000=10x2+790x+9000(x∈N*).x(x1)2－(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)=×10000=≥50×(2+79)=6950(元)，当且仅当x=，即x=30时等号成立，故该写字楼应建为30层.fx2000x2510x790x900090050(x79)xx900900x【规律总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)写出正确答案.【变式训练】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式.(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？1111ABBC【解析】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x=4000，得则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·+160=+4160(x1).(2)=5760，当且仅当即x=2.5时，等号成立，此时a=40，ax=100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.2010a.x2010x58010(2x)x558010(2x)4160801022x41601600xx416052xx，【拓展类型】基本不等式的综合应用1.已知等比数列a1，a2，a3的和为定值m(m0)，且其公比q0，若t=a1a2a3，则t的取值范围是()A.(0，m3]B.[-m3，0)C.[-m3，m3]D.[-m3，0)∪(0，m3]2.在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，求B的取值范围.【解题指南】1.根据题意，得出a2关于q的关系式，利用基本不等式求出a2的范围.从而得出t的取值范围.2.由a，b，c成等差数列