人教版高中数学必修五同课异构课件34基本不等式2精讲优练课型

第2课时基本不等式的应用【知识提炼】基本不等式与最值已知x0，y0，则(1)若x+y=s(和为定值)，则当____时，积xy取得最___值___.x=y大2s4(2)若xy=p(积为定值)，则当____时，和x+y取得最___值____.记忆口诀：两正数的和定积_____，两正数的积定和_____.x=y小2p最大最小【即时小测】1.思考下列问题(1)利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？提示：三个条件是：一正，二定，三相等.(2)凑配法求最值的基本技巧有哪些？提示：①配凑系数.②配凑常数.③配凑分子.④配凑分母.2.已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为()A.8B.6C.2D.3【解析】选C.因为2x0，4y0，所以2x+4y≥当且仅当2x=4y，即x=2y.又x+2y=1.故x=，y=时，等号成立.22xy224x2y2222.12143.已知xy0，则代数式()A.有最小值2B.有最大值-2C.有最小值-2D.不存在最值【解析】选B.因为x2+y2≥2|xy|=-2xy，又xy0，故≤-2.22xyxy22xyxy4.已知0x1，则x(3-3x)取最大值时x的值是______.【解析】因为0x1，所以x(3-3x)=3x(1-x)≤当且仅当x=1-x，即x=时，等号成立.答案：2x1x33[]24，12125.已知a0，b0，且2a+b=4，则的最小值为____.【解析】因为a0，b0，且2a+b=4，所以4=2a+b≥2，即当且仅当2a=b，即a=1，b=2时，取最小值.答案：1ab2ab11ab2，12【知识探究】知识点基本不等式的应用观察如图所示的内容，回答下列问题：问题1：若求和(积)的最值时，一般找哪个量为定值？问题2：利用基本不等式求最值时应注意哪些方面？【总结提升】1.利用基本不等式求最值时应注意的四个方面(1)代数式中，各项必须都是正数.例如，x+，当x0时，就不能直接用基本不等式得x+≥2，而应该转化为正数后再应用基本不等式.1x1x(2)代数式中，含变量的各项的和或积必须是常数.若含变量的各项之和或之积不是常数(定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可求出函数的最大值或最小值.(3)利用基本不等式求最值时，必须保证“=”能取得.若取不到等号，必须经过适当的变形，使之能取到等号.(4)多次使用基本不等式时，由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围，而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等式，这时应进一步转化，使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解.2.正确理解基本不等式模型(1)基本不等式模型为我们提供了利用基本不等式解决简单的最值问题的思考方向，若x+y=s(x0，y0，s是常数)，则由此得当且仅当x=y时取“=”.所以xy取得最大值.22xysxy()24，xyxy2，2s4(2)同理，当xy=p(x0，y0，p是常数)时，当且仅当x=y时，x+y取得最小值.那么，当和为定值时，可以求得积的最大值，当积为定值时，可以求得和的最小值.xy2xy2p，2p【题型探究】类型一利用基本不等式求最值问题【典例】1.(2015·洛阳高二检测)下列函数中，最小值为4的函数是()A.y=x+B.y=sinx+C.y=ex+4e-xD.y=log3x+logx814x4sinx2.(2015·邢台高二检测)如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是()A.4B.18C.4D.93.设0x，则函数y=x(3-2x)的最大值是__________.332【解题探究】1.典例1中要求函数的最值，应从哪些方面考虑？提示：看是否满足一正、二定、三相等.2.典例2中由log3m+log3n=4可得到什么结论？提示：由log3m+log3n=4，可得mn=34.3.典例3中的函数y=x(3-2x)如何变形才能利用基本不等式？提示：y=x(3-2x)=×2x(3-2x).12【解析】1.选C.选项A，C，D不能保证是正数之和，选项B中sinx取不到2，只有C项满足两项均为正，当且仅当x=ln2时等号成立，故选C.2.选B.因为log3m+log3n=4，故mn=34且m0，n0.又因为≥mn，所以m+n≥18.当且仅当m=n=9时取等号.2mn()23.因为0x，所以3-2x0，所以y=x(3-2x)=×2x(3-2x)≤当且仅当x=时等号成立，所以函数y=x(3-2x)的最大值是.答案：3212212x32x9()228，989834【方法技巧】1.利用基本不等式求最值的策略2.利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.(2)构造法：①构造不等式：利用ab≤将式子转化为含ab或a+b的一元二次不等式，将ab，(a+b)作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.2ab()2，(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.【变式训练】已知a3，求的最小值.【解题指南】利用a3的条件及结构式中一为分式，一为整式的特点配凑.4aa3【解析】因为a3，所以a-30，当且仅当a-3=，即a=5时等号成立.444aa332a337a3a3a3，4a3类型二利用基本不等式解决实际应用问题【典例】1.蓝天超市一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________吨.2.(2015·承德高二检测)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3m，AD=2m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，则AN的长度应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值.【解题探究】1.典例1中的总运费为多少元？提示：由于每次购买x吨，则购买的次数为次，每次运费为4万元，则总运费为×4万元.2.典例2中矩形AMPN的面积如何表示出来？提示：设AN的长为xm(x2)，则由得所以400x400xDNDCANAM3xAMx2，2AMPN3xS.x2矩形【解析】1.超市一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用之和为（·4+4x）万元.因为·4+4x≥160，当即x=20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．答案：20400x400x400x16004xx，2.设AN的长为xm(x2)，则由得所以(1)由S矩形AMPN32，得32.又x2，解得2x或x8.所以AN的长度的取值范围为(2，)∪(8，+∞)．DNDCANAM3xAMx2，2AMPN3xS.x2矩形23xx28383(2)因为当且仅当3(x-2)=，即x=4时，等号成立．所以当AN的长度是4m时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24m2.22AMPN3x212x2123xSx2x2矩形12123x21223(x2)1224x2x2，12x2【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【变式训练】(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F=276000v.v18v20l(1)当l=6.05时，则最大车流量为________辆/小时.(2)当l=5时，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时.【解析】(1)当l=6.05时，则≤1900，当且仅当v=，即v=11(米/秒)时取等号.276000v76000F121v18v20v18vl121v(2)当l=5时，则当且仅当v=，即v=10(米/秒)时取等号，此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.答案：(1)1900(2)100276000v76000F2000100v18v100v18v，100v【补偿训练】(2015·吉林高二检测)围建一个360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).(1)将y表示为x的函数.(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.【解析】(1)如图，设矩形的另一边长为am，则y=45x+180(x－2)+180·2a，由已知xa=360，得a=.所以y=225x+－360(x0)．360x2360x(2)因为x0，所以所以y=225x+-360≥10800－360=10440，当且仅当225x=时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．22360225x222536010800.x2360x2360x类型三基本不等式的综合应用【典例】1.(2015·徐州高二检测)当0x2时，不等式x(2-x)≤a恒成立，则实数a的取值范围是__________.2.函数y=loga(x+3)-1(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m0，n0，则的最小值为__________.12mn3.(2015·青岛高二检测)设x，y，z为正实数，满足x-2y+3z=0，求的最小值.2yxz【解题探究】1.典例1中由不等式x(2-x)≤a恒成立，转变为求x(2-x)的最大值还是最小值？提示：只要求x(2-x)的最大值即可.2.典例2中定点A的坐标是什么？提示：函数y=loga(x+3)-1(a0，a≠1)的图象恒过定点，即当x+3=1，x=-2时，y=loga1-1=-1，即A(-2，-1).3.典例3中由x-2y+3z=0可得到什么？提示：由x-2y+3z=0，得y=x3z.2【解析】1.因为0x2，所以2-x0，所以x(2-x)≤=1.所以a≥1.答案：[1，+∞)2x2x()2－2.由题意可得函数y=loga(x+3)－1(a0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)．又因为点A在直线mx+ny+1=0上，所以2m+n=1.所以当且仅当时等号成立，因为m0，n0，所以n=2m，即当m=，n=时，有最小值8.答案：81212n4m()2mn4()4248mnmnmn＝＝＋，n4mmn12mn12143.由x－2y+3z=0，得y=，代入，得当且仅当x=3z时取等号．所以的最小值为3.x3z22yxz22x9z6xz6xz6xz34xz4xz，2yxz【延伸探究】1.(改变问法)典例3中条件不变，求的最大值.【解析】因为x，y，z为正实数，由x-2y+3z=0得x+3z=2y，所以当且仅当x=3z时取等号.故的最大值为.2222x3z