人教版高中数学必修五模块复习课件第一课解三角形模块复习课1

第一课解三角形【网络体系】【核心速填】1.正弦定理(1)公式表达：___________________.abc2RsinAsinBsinC(2)公式变形：①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；②sinA=，sinB=，sinC=；③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；④a2Rb2Rc2Rabcabc2R.sinAsinBsinCsinAsinBsinC2.余弦定理(1)公式表达：a2=_____________，b2=_____________，c2=_____________.(2)推论：cosA=_________，cosB=_________，cosC=_________.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC222bca2bc222acb2ac222abc2ab3.三角形中的常用结论(1)a+bc，b+ca，c+ab.(2)a-bc，b-ca，a-cb.(3)A+B+C=π.(4)ab⇔AB⇔sinAsinB.(5)a=b⇔A=B.(6)A为锐角⇔cosA0⇔a2b2+c2；A为钝角⇔cosA0⇔a2b2+c2；A为直角⇔cosA=0⇔a2=b2+c2.(7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC.(8)ABCABCsincoscossin.2222，4.三角形中的计算问题在△ABC中，边BC，CA，AB记为a，b，c，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则(1)ha=bsinC=______.(2)hb=csinA=______.(3)hc=asinB=______.csinBasinCbsinA(4)(5)abcosCccosBbacosCccosAcacosBbcosA.，，111abcSabsinCacsinBbcsinA.2224R【易错提醒】解三角形中易忽视的三点(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围.(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况.(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况.类型一利用正、余弦定理解三角形【典例1】(1)△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=，BC=，则等于()37AOBC9911A.B.C.D.4422(2)在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos2A=，sinB=①求A+B的值；②若a-b=-1，求a，b，c的值.3510.102【解析】(1)选C.因为AB=2，所以BC2=AB2+AC2，所以A=，所以BC为圆的直径，O为斜边BC的中点，所以CO=BO=AO=BC=，又AC=，设∠AOC=α，由余弦定理得cosα=则AC3BC7，，212723222AOCOAC12AOCO7，711AOBC|AO||BC|cos()7().272(2)①因为A，B为锐角，sinB=所以cosB=又因为cos2A=1-2sin2A=所以sinA=，cosA=所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB1010，23101sinB10，35，552251sinA5，253105102.5105102因为0A+Bπ，所以A+B=②由①知C=，所以sinC=由正弦定理得即a=b，c=b.因为a-b=-1，所以b-b=-1，所以b=1，所以a=，c=..4342.2abcsinAsinBsinC5a10b2c，2522225【方法技巧】应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A+B+C=180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△ABC=acsinB；在有解时只有一解12已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180°求出另一角；S△ABC=absinC；在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A+B+C=180°，求出角C；S△ABC=absinC；在有解时只有一解1212已知条件应用定理一般解法两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理求出第三边c；S△ABC=absinC；可有一解、两解或无解12【变式训练】在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2，=4，2sinBcosC=sinA，求A，B及b，c.3ABCtantan22【解析】因为=4，所以=4.所以所以sinC=.又因为C∈(0，π)，所以C=或C=ABCtantan22ABCCsinsin()cosAB2222tanABCC2coscos()sin2222，CCcossin22CCsincos2214.CCsincos221265.6由2sinBcosC=sinA，得2sinBcosC=sin(B+C)，即sin(B-C)=0.所以B=C，所以B=C=，A=π-(B+C)=由正弦定理，得2.3abcsinAsinBsinC1sinB2bca232.sinA326【补偿训练】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=45°，b=，cosC=(1)求边长a.(2)设AB的中点为D，求中线CD的长.1025.5【解析】(1)由cosC=得sinC=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC由正弦定理得255222551cosC1()55，22525310252510，31010bsinA10a32.sinB22(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(3)2+()2-2×3××=4，所以c=2，在△BCD中.由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cosB=12+(3)2-2×1×3×=13，所以CD=221021025522213.类型二判断三角形的形状【典例2】(1)在△ABC中，已知3b=2asinB，且cosB=cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形3(2)已知在△ABC中，=c2，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状.333abcabc【解析】(1)选D.由3b=2asinB，得根据正弦定理，得所以，即sinA=又角A是锐角，所以A=60°.又cosB=cosC，且B，C都为三角形的内角，所以B=C，故△ABC为等边三角形.3b23asinB3，basinBsinA，a23asinA33.2(2)由=c2，得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3，所以a2+b2-ab=c2，所以cosC=，所以C=60°.由acosB=bcosA，得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为△ABC外接圆的半径)，所以sin(A-B)=0，所以A-B=0，所以A=B=C=60°，所以△ABC为等边三角形.333abcabc12【方法技巧】判定三角形形状的两种途径(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA=sinB⇔A=B，sin(A-B)=0⇔A=B，sin2A=sin2B⇔A=B或A+B=等.2(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=cosA=等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.a2R，222bca2bc【变式训练】在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，试判断△ABC的形状.【解析】方法一：由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，因为B=60°，所以A+C=120°，A=120°-C，将其代入上式，得2sin60°=sin(120°-C)+sinC，展开整理，得sinC+cosC=1，所以sin(C+30°)=1，所以C+30°=90°.所以C=60°，故A=60°，所以△ABC是等边三角形.3212方法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，因为B=60°，b=，所以()2=a2+c2-2accos60°.所以(a-c)2=0，所以a=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形.ac2ac2【补偿训练】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状.(2)若c=，求k的值.ABACBABC2【解析】(1)因为=cbcosA，=cacosB，又因为，所以bccosA=accosB，所以bcosA=acosB.ABACBABCABACBABC方法一：因为bcosA=acosB，所以sinBcosA=sinAcosB，即sinAcosB-sinBcosA=0，所以sin(A-B)=0.因为-πA-Bπ，所以A=B.所以△ABC为等腰三角形.方法二：因为bcosA=acosB，所以所以b2+c2-a2=a2+c2-b2，所以a2=b2，所以a=b.故此三角形是等腰三角形.(2)由(1)知a=b，所以=bccosA=bc·==k.因为c=，所以k=1.222222bcaacbba2bc2ac，ABAC222bca2bc2c22类型三正、余弦定理的实际应用【典例3】已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？2【解析】如图所示，在△ABC中，依题意得BC=20海里，∠ABC=90°-75°=15°，∠BAC=60°-∠ABC=45°.由正弦定理，得所以AC==10()(海里).2ACBCsin15sin45，202sin15sin4562过点A作AD⊥BC.故A到航线的距离为AD=ACsin60°=10()×=()(海里).因为8，所以货轮无触礁危险.62321525615256【方法技巧】正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图.(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形.(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.【变式训练】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值.【解析】如图，作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M，DF=DE=EF=在△DEF中，由余弦定理得：cos∠DEF=2222MFDM3017010298，2222DNEN50120130，2222(BEFC)BC90120150.222222DEEFDF1301501029816.2DEEF213015065【补偿训练】如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为__________km.【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以∠B+∠D=π，由余弦定理得AC2=52+32-2×5×3cosD=34-30