人教版高中数学必修五模块复习课件第三课不等式模块复习课3

第三课不等式【网络体系】【核心速填】1.比较两实数a，b大小的依据a-b0⇔____.a-b=0⇔____.a-b0⇔____.aba=bab2.不等式的性质性质1如果ab，那么b__a；如果ba，那么a__b，即ab⇔ba.性质2如果ab，bc，那么a__c，即ab，bc⇒a__c.性质3如果ab，那么a+c__b+c.性质4如果ab，c0，那么ac__bc，如果ab，c0，那么ac__bc.性质5如果ab，cd，那么a+c__b+d.性质6如果ab0，cd0，那么ac__bd.性质7如果ab0，那么an__bn，(n∈N*，n≥1).性质8如果ab0，那么(n∈N*，n≥2).nnab，3.一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系设f(x)=ax2+bx+c，方程ax2+bx+c=0(a0)的判别式Δ=b2-4ac判别式Δ0Δ=0Δ0方程f(x)=0的根(1)求方程f(x)=0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1，x2没有实数解设f(x)=ax2+bx+c，方程ax2+bx+c=0(a0)的判别式Δ=b2-4ac方程f(x)=0的根(2)画函数y=f(x)的示意图(3)得不等式的解集f(x)0_______________________f(x)0_______________{x|xx1或xx2}b{xx}2a｜R{x|x1xx2}∅∅4.二元一次不等式表示的平面区域Ax+By+C(B0)表示对应直线区域.5.二元一次不等式组表示的平面区域每个二元一次不等式所表示的平面区域的_________，就是不等式组所表示的区域.__0__0__________上方下方公共部分6.线性规划中的基本概念名称定义目标函数要求_______________的函数，叫做目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的_________线性目标函数如果目标函数是___________________，则称为线性目标函数最大值或最小值不等式组关于变量的一次函数名称定义线性约束条件如果约束条件是______________________________，则称为线性约束条件线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的________________问题，称为线性规划问题最优解使目标函数达到_______________的点的坐标，称为问题的最优解可行解满足线性约束条件的解，叫做可行解可行域由所有_______组成的集合叫做可行域关于变量的一次不等式(或等式)最大值或最小值最大值或最小值可行解7.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a，b∈R)“a=b”时取等号基本不等式≤_____(a0，b0)“a=b”时取等号abab2【易错提醒】（1）求解一元二次不等式时注意讨论二次项系数是否为零，容易在解题中忽略.（2）利用线性规划求最值时容易弄错直线间倾斜角之间的大小关系，要掌握利用斜率的大小判断倾斜角的大小的方法.（3）利用基本不等式求最值时，注意对式子的整体变换，如果多次利用基本不等式则要保证每一个等号同时取到.类型一不等式性质的应用【典例1】(1)如果a∈R，且a2+a0，那么a2，a，-a，-a2的大小关系是()A.a2a-a-a2B.-aa2-a2aC.-aa2a-a2D.a2-a-a2a(2)(2015·玉林高二检测)若A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，则A，B的大小关系为__________.【解析】(1)选B.因为a2+a0，所以a(a+1)0，所以-1a0.取a=-，可知-aa2-a2a.(2)A-B=(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=x2+10x+21-(x2+10x+24)=-30，所以AB.答案：AB12【方法技巧】数或式的大小比较(1)作差或作商比较法.(2)找中间量来比较，往往找1或0.(3)特值法，对相关的式子赋值计算得出结果.(4)数形结合法，画出相应的图形，直观比较大小.(5)利用函数的单调性比较大小.【变式训练】已知a，b为正数，试比较与的大小.abbaab【解析】因为a，b为正数，所以≥0，当且仅当a=b时取等号.所以，当且仅当a=b时取等号.abab()(ab)(b)(a)baba2(ab)(ab)(ab)(ab)abab，2(ab)(ab)abababba【补偿训练】如果ab，给出下列不等式：①②a3b3；③④2ac22bc2；⑤1；⑥a2+b2+1ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是_______.【解题指南】解此类问题主要是依据不等式的性质进行判断，其实质就是看是否满足相关性质所需要的条件.11ab；22ab；ab【解析】①若a0，b0，则，故①不成立；②因为y=x3在x∈R上单调递增，且ab，故a3b3，故②成立；③取a=0，b=-1，知③不成立；④当c=0时，2ac2=2bc2，故④不成立；⑤取a=1，b=-1，知⑤不成立；⑥因为a2+b2+1-(ab+a+b)=[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]0，所以a2+b2+1ab+a+b，故⑥成立.答案：②⑥11ab＞12类型二不等式的解法【典例2】(2015·遵义高二检测)若不等式(1-a)x2-4x+60的解集是{x-3x1}.(1)解不等式2x2+(2-a)x-a0.(2)b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R.【解析】(1)由题意知1-a0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根，所以解得a=3，所以不等式2x2+(2-a)x-a0即为2x2-x-30，1a0421a631a，，，解得x-1或x.所以所求不等式的解集为{x|x-1或x}.(2)ax2+bx+3≥0，即为3x2+bx+3≥0.若此不等式解集为R，则b2-4×3×3≤0，所以-6≤b≤6.3232【延伸探究】若本例(2)中不等式改为bx2+3x+3≥0，如何求解？【解析】当b=0时，原不等式化为3x+3≥0，不满足解集为R；当b≠0时，则解得b≥，综上知，b≥.b0943b0，，3434【方法技巧】不等式的解法(1)一元二次不等式的解法①将不等式化为ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0(a0)的形式；②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集.(2)含参数的一元二次不等式解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.【变式训练】(2015·武汉高二检测)已知a0，解关于x的不等式ax2-(a-2)x-20.【解析】因为a0，所以不等式ax2-(a-2)x-20可化为：(ax+2)(x-1)0，即(x+)(x-1)0，2a所以方程(ax+2)(x-1)=0的两根为：x1=，x2=1，所以当a-2时，1，不等式的解集为{x|x或x1}.当a=-2时，=1，原不等式可化为(x-1)20，其解集为x≠1，当-2a0时，1，不等式的解集为{x|x1或x}.2a2a2a2a2a2a综上：当a-2时，解集为{x|x或x1}，当a=-2时，解集为{x|x≠1}，当-2a0时，解集为{x|x1或x}.2a2a【补偿训练】解关于x的不等式56x2+ax-a20.【解析】原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0，即0.①当，即a0时，②当，即a=0时，原不等式解集为∅；aa(x)(x)78aa78aax78；aa78③当，即a0时，综上知，当a0时，原不等式的解集为当a=0时，原不等式的解集为∅；当a0时，原不等式的解集为aa78＞aax.78aa{x|x78}；aa{x|x78}.类型三线性规划应用问题【典例3】(2015·绵阳高二检测)某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？【解析】设每盒盒饭需要面食x百克，米食y百克，所需费用为z=0.5x+0.4y，且x，y满足作出可行域，如图所示.由图可知，平行直线系过点A时，纵截距z最小，即z最小.由，解得点A所以每盒盒饭为面食百克，米食百克时，既科学又费用最少.6x3y84x7y10x0y0，，，，55yxz42526x3y84x7y101314().1515，13151415【方法技巧】解线性规划问题的一般步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数.(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域.(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.(4)求：通过解方程组求出最优解.(5)答：作出答案.【变式训练】(2014·广东高考)若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值等于()A.7B.8C.10D.11x2y80x40y3，，，【解析】选C.作出可行域OABCD是3×4的矩形去掉一个直角三角形，其中B(2，3)，C(4，2)，所以当动直线z=2x+y经过点C(4，2)时取得最大值10.【补偿训练】设x，y满足约束条件则z=x+4y的最大值为________.xy0x2y3x2y1，，，【解析】如图所示的可行域，当目标函数z=x+4y过点B(1，1)时，取得最大值，zmax=1+4×1=5.答案：5类型四应用基本不等式求最值【典例4】(2015·昆明高二检测)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算，请说明理由.【解析】(1)设捕捞n年，盈利为y元，则y=50n-[12n+×4]-98=-2n2+40n-98.由y0，得n2-20n+490，解得10-n10+，又n∈N，则3≤n≤17，故捕捞3年后，开始盈利.n(n1)25151(2)①年平均盈利为=-2n-+40≤-2+40=12，当且仅当2n=，即n=7时，年平均盈利最大.故经过7年捕捞后年平均盈利最大，共盈利12×7+26=110万元.②因为y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102，所以当n=10时，y的最大值为102.yn98n982nn98n即经过10年捕捞盈利总额最大，共盈利102+8=110万元.综上知两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算.【方法技巧】利用基本不等式求最值的方法(1)基本不等式常用来求最值：一般a+b≥2(a0，b0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤解“定和求积，积最大”问题.ab2ab()2(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)=x+(k0).一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.kx【变式训练】(2015·渭南高二检测)已知正数x，y满足x+2y=1，求的最小值.11xy【解析】因为x+2y=1且x0，y0.所以≥当且仅当，即x=y，又x+2y=1，即x=-1，y=