人教版高中数学必修五模块复习课件第二课数列模块复习课2

第二课数列【网络体系】【核心速填】1.数列的通项与前n项和的关系(1)Sn=a1+a2+…+an.(2)an=___n1________n2.，，，1Snn1SS2.等差数列(1)通项公式：an=a1+_______，an=am+_______.(2)前n项和公式：Sn=________=___________.(n-1)d(n-m)d1nn(aa)21n(n1)nad2(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫作a，b的等差中项，且有_______.(4)常用性质：①若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则__________；②在等差数列{an}中，Sk，S2k-Sk，______，…成等差数列.a+b=2Aam+an=ap+aqS3k-S2k(5)等差数列的判断①定义式：______=d(d为常数)；②等差中项：an+an+2=_____；③通项公式：an=dn+b；④前n项和：Sn=an2+bn.an+1-an2an+13.等比数列(1)通项公式：an=_____，an=_____.(2)前n项和公式：Sn=a1qn-1amqn-m___q1_________________q1.，，，1nan1a(1q)1q1naaq1q(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的等比中项，且有G2=___或G=_____.(4)等比数列的性质：①若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则____________；②在等比数列{an}中，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等比数列.(q≠-1)ababam·an=ap·aq(5)等比数列的判断：①定义式：______(q为非零常数)；②等比中项：an·an+2=___；③通项公式：an=aqn(a，q为非零常数)；④前n项和：Sn=A-Aqn(A为非零常数，q≠0且q≠1).n1naqa2n1a【易错提醒】1.关注an与Sn的关系式的应用应用an=解题时，应注意分类讨论的应用，即要注意分n=1和n≥2两种情况进行讨论.1nn1Sn1SSn2，，，2.重视等差(比)数列的定义等差(比)数列的定义中都强调从第2项开始，每一项与前一项的差(比)，是同一常数.利用定义法证明等差(比)数列时，要特别注意n的取值范围.3.忽视等比数列项的符号等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同，解题时常因忽略这点而致误.4.求等比数列的前n项和时注意分类讨论在等比数列的公比不确定的情况下，求其前n项和时应对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.5.找规律，“数清”数列的项数在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数.如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃.类型一数列通项公式的求法【典例1】(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则此数列的通项公式为an=__________.(2)写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式.①a1=1，an+1=2n·an(n≥1)；②a1=2，an+1=an+3n+2.【解析】(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.当n=1时，a1=S1=21-1=1，适合上式.综上有an=2n-1.答案：2n-1(2)①方法一：因为an+1=2n·an，所以所以将上述n-1个式子累乘，得=21+2+3+…+(n-1)，即an=(n∈N*).nn1na2a，23n1324n123n1aaaa2222.aaaa，，，，n1aan(n1)22方法二：an+1=2n·an=2n·2n-1an-1=…=2n·2n-1·…·22·21a1=21+2+…+n-1+na1=所以an=n(n1)22.n(n1)22.②因为an+1=an+3n+2，所以an-an-1=3n-1(n≥2).所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n≥2).当n=1时，×(3×1+1)=2=a1，a1符合公式，所以an=n(3n1)21223nn.22【延伸探究】典例1(1)中的条件“Sn=2n-1”改为“Sn=3n2-2n+1”，结果如何？【解析】当n=1时，a1=S1=3×12-2×1+1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5，显然当n=1时，不满足上式.故数列的通项公式为an=2n16n5n2.，，，【方法技巧】数列通项公式的求法(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an=求解.1nn1Sn1SSn2，，，(3)累加或累乘法形如an-an-1=f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如=f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式.nn1aa【拓展延伸】用待定系数法由递推公式求通项公式(1)基本思路把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式.(2)具体方法在递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列.例如an=can-1+d(c≠0，c≠1)的递推关系式，在递推关系式两端同时加上A，an+A=can-1+d+A，即an+A=令A=，解出A，此时数列{an+A}是等比数列，可解.n1dAc(a).cdAc【变式训练】若a1=1，Sn=an，则通项an=____.【解析】由题设知，a1=1.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=所以所以n23nn1n2n1aa33，nn1an1an1，3n42n1321aaaan1543.an1a3a2a，，，，以上n-1个式子的等号两端分别相乘，得到又因为a1=1，所以an=a1=1也符合此式，所以an=答案：n1an(n1)a2，n(n1)2，n(n1)2.n(n1)2类型二等差数列、等比数列的判定【典例2】(1)已知数列{an}，则有()A.若an2=4n，n∈N*，则{an}为等比数列B.若an·an+2=，n∈N*，则{an}为等比数列C.若am·an=2m+n，m，n∈N*，则{an}为等比数列D.若an·an+3=an+1·an+2，n∈N*，则{an}为等比数列2n1a(2)在数列{an}中，a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且n∈N*).①求a2，a3的值.②设bn=(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列.nna32【解析】(1)选C.若a1=-2，a2=4，a3=8，满足an2=4n，n∈N*，但{an}不是等比数列，故A错；若an=0，满足an·an+2=，n∈N*，但{an}不是等比数列，故B错；若an=0，满足an·an+3=an+1·an+2，n∈N*，但{an}不是等比数列，故D错；若am·an=2m+n，m，n∈N*，则有=2，则{an}是等比数列.2n1amn1n1mn1mnnmnaaa2aaa2(2)①因为a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且n∈N*)，所以a2=2a1+22+3=1，a3=2a2+23+3=13.②对于任意n∈N*，因为=[(2n+1+3)-3]=1，所以数列{bn}是首项为=0，公差为1的等差数列.n1nn1nn1nn1nn1a3a31bb(a2a)3222［］n1121a33322【方法技巧】等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数列；=q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列.(2)中项公式法：2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数列；=an·an+2(an≠0)⇔{an}是等比数列.n1naa2n1a(3)通项公式法：an=kn+b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an=c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列.(4)前n项和公式法：Sn=An2+Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn=Aqn-A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列.【变式训练】已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn=，n=1，2，3，…，求证数列{bn}为等比数列.n21a【证明】因为lga1，lga2，lga4成等差数列，所以2lga2=lga1+lga4=lg(a1·a4)，所以a22=a1·a4.设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d)，所以d2=a1·d，所以d(a1-d)=0，所以d=0或d=a1.①当d=0时，{an}为常数列，{bn}也为常数列，此时数列{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列.②当d=a1时，=a1+(2n-1)d=2nd，因为a10，所以d0，所以bn=显然bn≠0.所以(n≥1)，n2ann2111ad2，n1n1nn11b1d211b2d2此时数列{bn}是首项为b1=，公比为的等比数列.综上可知，数列{bn}是等比数列.12d12【补偿训练】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，bn=an+1(n∈N*).(1)求证：{bn}是等比数列.(2)求{an}的通项公式.【解析】(1)因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，即bn+1=2bn.因为b1=a1+1=2≠0，所以bn≠0.所以=2，所以{bn}是等比数列.(2)由(1)知{bn}是首项b1=2，公比为2的等比数列，所以bn=2×2n-1=2n，即an+1=2n，所以an=2n-1.n1nbb类型三数列求和【典例3】(1)数列{an}中，an=Sn=9，则n=____.(2)(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.①求{an}的通项公式.②求数列{}的前n项和.1nn1，nna2【解析】(1)an=所以Sn==-1=9，所以n=99.答案：991n1nn1n，(21)(32)(n1n)n1(2)①方程x2-5x+6=0的两根为2，3，由题意得a2=2，a4=3，设数列{an}的公差为d，则a4-a2=2d，故d=，从而a1=，所以{an}的通项公式为an=n+1.123212②设数列{}的前n项和为Sn，由①知则Sn=两式相减得：所以Sn=2-nna2nnn1an222，234nn1345n1n222222，n345n1n21345n1n2S222222，n34n1n213111n2S()242222n1n2311n2(1)4422，n1n4.2【方法技巧】数列求和的常用方法(1)公式法.(2)分组求和法.(3)倒序求和法.(4)错位相减法.(5)裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(6)并项求和法.一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.【变式训练】已知函数f(x)=2x-3x-1，点(n，an)在f(x)的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.【解析】由题得an=2n-3n-1，Sn=a1+a2+…+an=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-nnn12(12)n(n1)n(3n5)3n22.1222【补偿训练】设{an}是等差数列，{bn}是