应用举例三角度及面积

高度角度距离面积角度例5.一艘海轮从A出发，沿北偏东75o的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32o的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，则此船该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?（角度精确到0.1o，距离精确到0.01nmile）解：∵在△ABC中，∠ABC=180o-75o+32o=137o，∴根据余弦定理，22222cos67.554.0267.554.0cos137113.15()ACABBCABBCABCnmilesinsin54.0sin137113.150.3255,BCABCCABAC根据正弦定理，故∠CAB≈19.0°,∴75°-∠CAB=56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.13790ooABC变题：如图，甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，且乙船正在向正北方向行驶，如果甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？60AB北C解：设甲船在C处追上乙船则依题意可知，3,120ACBCABC由正弦定理可得sin1201sin2BCBACAC30BAC答：甲船应以北偏东30o的方向前进才能尽快追上乙船。例6、我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面的C和D处，其中观察所D恰好在炮兵阵地A的正西方，若已知CD=6km，45,75,ACDADC目标出现于地面B处时测得30,15BCDBDC.求目标B相对于炮兵阵地A的位置.（tan40.90.866）45753015ABCD解：∵在,18060ACDCADACDADC△中CD=6ACD=45又，，由正弦定理得sin4526sin60CDAD又∵在△ABC中180135CBDBCDBDC∴sin3032sin135CDBD157590ADB2242ABADBDtan0.866BDBADAD40.9BAD即角49.142BAkm答：目标位于北偏西，距离的位置45753015ABCD例6、我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面的C和D处，其中观察所D恰好在炮兵阵地A的正西方，若已知CD=6km，45,75,ACDADC目标出现于地面B处时测得30,15BCDBDC.求目标B相对于炮兵阵地A的位置.（tan40.90.866）面积ABCcbaD如图，在△ABC中，AB边上的高CD=bsinA1sin2ABCSbcA△11sinsin22ABCSabCacB△同理可得求三角形面积的方法:（1）知一边及该边上的高：（2）知两边及其夹角：111222abcSahbhch111sinsinsin222SabCacBbcA例7.在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm²)（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°；（2）已知B=62.7°，C=65.8°，b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.21sin,2123.514.8sin148.590.9()2SacBScm解：（1）应用得例7.在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm²)（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°；（2）已知B=62.7°，C=65.8°，b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.sinsinsin3.16sin65.83.24()sinsin62.7bcBCbCccmB解：（2）180(62.765.8)51.5A又21sin3.163.24sin51.54.0().2SbcAcm例7.在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm²)（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°；（2）已知B=62.7°，C=65.8°，b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.222222cos238.741.427.30.7679()238.741.4acbBaccm解：（3）22sin1cos10.76970.6384()BBcm211sin38.741.40.6384511.4()22SacBcm例7.在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm²)（4）已知；26,45abA,sin6sin453sin22bABa解：由正弦定理可得60120baBB或601804560751133sin26sin75222BCSabC（1）若，则故12018045120151133sin26sin15222BCSabC（2）若，则故例8、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知ac，ab=60，sinA=cosB，且该三角形的面积S=15，求角A的大小。∵ac，1sin2C∴∠C为锐角，故C=30o180150BCAA31sincoscos(150)cossin22ABAAAtan3A整理得120A1sin30sin152ABCSabCC解：的面积为作业：已知在ABC△中，内角ABC，，所对边的边长分别是abc，，，若2a，2223abcab．（1）求角C；（2）若ABC△的面积等于3，求ABC△的周长；ACB6060DE例3、在某海港A附近的海面上有一台风形成，如下图，若在早上9点钟的时候，有一渔船正处在A港南偏西60o，距离A港220km的海面上的B处，此时台风中心位于A港正南方240km海面上的C处，并以60km/h的速度沿北偏西60o的方向前进，为了避免不必要的损失，渔船准备以20km/h的速度回A港避风，若台风的影响范围是半径为100km的圆形区域，试求2小时后台风中心相对于渔船的位置，此时渔船是否受到台风的影响？240解：设2小时后渔船位于D点，台风中心位于E点，如图所示则CE=120km，AD=220-40=180km∵在△AEC中1201cos60cos2402ECACEACACB6060DE240∴AE⊥EC，∠EAC=30o，又∵∠DAC=60o∴∠DAE=30o1203AE222cos30603DEADAEADAE6031sin21203DEDAEAE∴∠ADE=90oF过D作DF⊥AC，则易知∠ADF=30o∴∠FDE=60o故此时台风中心在渔船东偏南60o，距离的位置上603603100故渔船此时没有受到台风的影响ACB例3、在某海港A附近的海面上有一台风形成，如下图，若在早上9点钟的时候，有一渔船正处在A港南偏西30o，距离A港105km的海面上的B处，此时台风中心位于A港正南方km海面上的C处，并以60km/h的速度沿北偏西30o的方向前进，为了避免不不要的损失，渔船准备以15km/h的速度回A港避风，试确定到中午12点时，台风中心相对于渔船的位置。12033030DE解：设12点时渔船位于D点，台风中心位于E点，如图所示则CE=180km，AD=105-45=60kmACB例3、在某海港A附近的海面上有一台风形成，如下图，若在早上9点钟的时候，有一渔船正处在A港南偏西30o，距离A港105km的海面上的B处，此时台风中心位于A港正南方km海面上的C处，并以60km/h的速度沿北偏西30o的方向前进，为了避免不不要的损失，渔船准备以15km/h的速度回A港避风，试确定到中午12点时，台风中心相对于渔船的位置。12033030DE变题：若早上10点时渔船开始受到台风的影响，已知该台风的侵袭范围是圆形区域，求台风影响范围的半径。ABCD例2、如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度奎屯王新敞新疆13．解：在△ABC中，AB=100m,CAB=15,ACB=4515=30由正弦定理：15sin30sin100BC∴BC=200sin15在△DBC中，CD=50m,CBD=45,CDB=90+由正弦定理：)90sin(15sin20045sin50cos=13,∴=42奎屯王新敞新疆94