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竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋FN＝mv2Rmg±FN＝mv2R临界特征FN＝0mg＝mv2minR即vmin＝gRv＝0即F向＝0FN＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gRv≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A．小球的质量为aRbB．当地的重力加速度大小为RbC．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】：ACD【典例2】用长L＝0.6m的绳系着装有m＝0.5kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。G＝10m/s2。求：(1)最高点水不流出的最小速度为多少？(2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力多大？【答案】(1)2.45m/s(2)2.5N方向竖直向上【解析】(1)水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。这是最小速度即是过最高点的临界速度v0。以水为研究对象，mg＝mv20L解得v0＝Lg＝0.6×10m/s≈2.45m/s(2)因为v＝3m/sv0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。V＝3m/sv0，水不会流出。设桶底对水的压力为F，则由牛顿第二定律有：mg＋F＝mv2L解得F＝mv2L－mg＝0.5×(320.6－10)N＝2.5N根据牛顿第三定律F′＝－F所以水对桶底的压力F′＝2.5N，方向竖直向上。【跟踪短训】1.如图所示，一内壁光滑、质量为m、半径为r的环形细圆管，用硬杆竖直固定在天花板上．有一质量为m的小球(可看做质点)在圆管中运动．小球以速率v0经过圆管最低点时，杆对圆管的作用力大小为()A．mv20rB．mg＋mv20rC．2mg＋mv20rD．2mg－mv20r【答案】C2.(多选)如图所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动．对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力．下列说法中正确的有()．A．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小【答案】AD【解析】在最高点时，由mg＝mv2R可得v＝gR，所以半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大，A正确；由机械能守恒可知12mv2＋mg×2R＝12mv20，所以v0＝5gR，由ω＝vR＝5gR，故半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小，D正确．3．(多选)如图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动．P为圆周轨道的最高点．若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为92gL，则以下判断正确的是()．A．小球不能到达P点B．小球到达P点时的速度小于gLC．小球能到达P点，但在P点不会受到轻杆的弹力D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力【答案】BD4.如图所示，轻杆长为3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时()A．球B的速度为零B．球A的速度大小为2gLC．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD．水平转轴对杆的作用力为2.5mg【答案】C【解析】球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝mvB22L，解得vB＝2gL，故A错误；由于球A、B的角速度相等，则球A的速度大小vA＝122gL，故B错误；球B在最高点时，对杆无作用力，此时球A所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，有F－mg＝mvA2L，解得：F＝1.5mg，则水平转轴对杆的作用力为1.5mg，故C正确，D错误。二、竖直面内圆周运动与平抛运动组合物体有时先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。解题技巧(1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。(2)速度是联系前后两个过程的关键物理量。【典例1】如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0kg的小球。现将小球拉到A点(保持轻绳绷直)由静止释放，当它经过B点时轻绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点，地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知轻绳长L＝1.0m，B点离地高度H＝1.0m，A、B两点的高度差h＝0.5m，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，求：(1)地面上D、C两点间的距离s；(2)轻绳所受的最大拉力大小。【答案】(1)1.41m(2)20N【典例2】为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ＝60°，长为L1＝23m的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与长为L2＝32m的水平轨道BC相连，然后在C处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图所示。现将一个小球从距A点高为h＝0.9m的水平台面上以一定的初速度v0水平弹出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC间的动摩擦因数均为μ＝33。g取10m/s2，求：(1)小球初速度v0的大小；(2)小球滑过C点时的速率vC；(3)要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。【答案】(1)6m/s(2)36m/s(3)0＜R≤1.08m【解析】(1)小球做平抛运动到达A点，由平抛运动规律知竖直方向有：v2y＝2gh，即：vy＝32m/s因为在A点的速度恰好沿AB方向，所以小球初速度：v0＝vytan30°＝6m/s(2)从水平抛出到C点的过程中，由动能定理得：mg(h＋L1sinθ)－μmgL1cosθ－μmgL2＝12mv2C－12mv20当圆轨道与AB相切时：R3＝L2tan60°＝1.5m，即圆轨道的半径不能超过1.5m综上所述，要使小球不离开轨道，R应该满足的条件是：0＜R≤1.08m。【典例3】如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相撞．已知半圆形管道的半径为R＝1m，小球可看作质点且其质量为m＝1kg，g取10m/s2.则()A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9mB．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9mC．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1ND．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2N【答案】AC