数学命题及其教学

数学命题及其教学Page2一、判断与命题概述1判断的意义及其结构判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。即，判断是对思维对象的某种属性进行肯定或否定的一种思维形式。例如，“π是无理数”、“0是自然数”、“我是学生”等都是表示判断的语句。★什么是判断？Page3■按判断的组成形式，可分为简单判断和复合判断。（2）判断有真假之分。★判断的两个基本特征（1）“要有所断定”，否则不称其为判断。如，“0是自然数吗？”，“x－1＞0”都不是判断。★判断可按不同的标准进行分类对于简单判断，又可按其内容分为性质判断和关系判断；对于复合判断，还可按其复合形式分为负判断、联言判断、选言判断和假言判断。Page4■按判断的质来分，判断可分为肯定判断和否定判断。■按判断的量来分，则可分为全称判断和特称判断。★数学中常用的四种判断形式⑴全称肯定判断(A)，其逻辑形式是：“所有的S都是P”，简记为SAP；⑵全称否定判断（E），其逻辑形式是：“所有的S都不是P”，简记为SEP；⑶特称肯定判断（I），其逻辑形式是：“有些S是P”，简记为SIP；Page5⑷特称否定判断（O），其逻辑形式是：“有些S不是P”，简记为SOP；★判断的结构2命题及其基本运算表述数学判断的语句则称为数学命题(判断)=(量项)+(主项)+(联项)+(谓项)★什么是命题？表述判断的语句称为命题。由于判断有真假之分,故命题应具有可判性、有真假之分。★真命题与假命题Page627x如“”和“3x”，由于含有变量x，故无法判断其真假，这样的语句称为开句，不是命题,但若当x赋值后,则它都可成为数学命题。27.xRx如：存在，使得就是将命题符号化、形式化，将若干命题用逻辑联系词联结起来构建新的命题，由于关键是逻辑联系词，因此，命题运算实际上是命题的逻辑联结。★命题的运算（复合）Page7★命题的基本运算否定(非)、合取(与、且、联言命题)、析取(或、选言命题)、蕴涵、等价。（1）否定（非——“﹁”）给一个命题p，它与“﹁”构成复合命题“﹁p”，称为命题p的否定，也称为负命题。否定真值表p﹁p1001Page8（2）合取（与、且——“∧”）给定两个命题p,q，用连接词“∧”联结起来，构成复合命题“p∧q”,称为命题p,q的合取式，也称为联言命题。合取真值表pqp∧q110010101000Page9（3）析取（或——“∨”）给定两个命题p,q，用连接词“∨”联结起来，构成复合命题“p∨q”,称为命题p,q的析取式，也称为选言命题。析取真值表pqp∨q110010101110Page10（4）蕴涵(若…则…、如果…那么…——“→”)给定两个命题p,q，用连接词“→”联结起来，构成复合命题“p→q”,称为命题p,q的蕴含式，也称为假言命题。其中p叫做前件(或条件),q叫做后件(或结论)。蕴含真值表pqp→q110010101011Page11（5）等价（当且仅当）给定两个命题p,q,用连接词“←→”联结起来，构成复合命题“p←→q”,称为命题p,q的等值式，也称为充要条件假言命题。等价真值表pqp←→q110010101001Page12例1求复合命题(p∧q)→p的真值。例2求复合命题p∧﹁q的真值。★复合命题的真值Page13★常用的逻辑等价式：若两个命题的真值完全相同，则这两个命题称为等假命题（或逻辑等价）.记着“≡”.逻辑等价的两个命题，在推理证明时可以互相替换.常用的逻辑等价式有：①幂等律：p∨p≡p，p∧p≡p.②交换律：p∨p≡q∨p，p∧p≡q∧p.③结合律：(p∨q)∨r≡p∨(q∨r),(p∧q)∧r≡p∧(q∧r),④分配律：p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r),p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r).Page14⑤吸收律：p∨(p∧q)≡p,p∧(p∨q)≡p.⑥DeMorgun律：﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q,﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q.⑦双否律：﹁(﹁p)≡p.⑧幺元律：p∨0≡p,p∧1≡p.⑨极元律：p∨1≡1,p∧0≡0.⑩互补律：p∨﹁p≡1,p∧﹁p≡0.利用逻辑等价可以将复杂的命题简单化，也可推证两个命题的等价关系.Page153命题运算应用举例（1）反映逻辑思维的基本规律①同一律。在同一思维过程中，每一思想都必须是严格确定的和同一的。它的公式是A≡A,表示成命题形式A→A。由真值表知它是恒真命题.AA→A1011同一律要求：思维对象应保持同一；表示同一事物的概念应保持同一.Page16②矛盾律。在同一思维过程中，同一对象的两个互相矛盾的思想不能同真。它的公式是﹁(A∧﹁A)(A与非A不能同真)。由真值表可知它是一个恒真命题。A﹁AA∧﹁A﹁(A∧﹁A)10010011矛盾律是同一律的引申，它是用否定形式来表达同一律的内容.同一律说：p是p；矛盾律说：p不是﹁p.Page17③排中律。在同一思维过程中，同一对象的两个互相矛盾的思想必有一真。它的公式是A∨﹁A(A或非A)，易证它是一恒真命题。排中律要求思维要有明确性，避免模棱两可.它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定、互不矛盾，而且应该明确地表示肯定或否定，不能模棱两可，不可含糊不清.矛盾律和排中律是反证法的逻辑基础.当要证明某一命题的真实性有困难时，根据排中律，只要证明这一命题的负命题是假的即可.Page18（2）命题的四种形式及关系原命题：p→q逆命题：q→p(换位)否命题：﹁p→﹁q(换质)逆否命题：﹁q→﹁p从真值表容易证明,原命题与其逆否命题等价，逆命题与否命题等价。即：p→q≡﹁q→﹁p.以上结论也可以用命题运算律加以证明，如：p→q≡﹁p∨q≡q∨﹁p≡﹁(﹁q)∨﹁p≡﹁q→﹁pPage19★命题的四种形式原命题：若P,则Q.逆命题：若P,则Q.逆否命题：若P,则Q.否命题：若P,则Q.(互逆)(互逆)互否互否互逆否Page20（3）命题的制作①逆命题的制作※直接换位得逆命题※将一个复合命题中相同个数的条件、结论(不是全部)交换位置得逆命题——“偏逆命题”例如：命题“若a0,b0,则ab0”有两个条件和一个结论,因此,它有一个逆命题“若ab0,则a0,b0”和两个偏逆命题“若ab0,b0,则a0”及“若ab0,a0,则b0”。Page21※当命题的条件、结论中含有选言判断,在制作逆命题时,选言判断只能当作一个整体,不能再加分解。例如,命题“若a0或a0,则”只有一个条件(选言判断)和一个结论,因而也只有一个逆命题：“若,则a0或a0”而没有偏逆命题。20a20a②逆否命题的制作※简单命题的逆否命题的制作,只需将条件、结论先否定,再换位即可。Page22（4）命题的条件充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件。※复合命题的逆否命题制作，则需通过命题运算才能得到。例如,求命题“若a=0或b=0,则ab=0”的逆否命题。应首先将命题表述为(a=0)∨(b=0)→(ab=0)；然后进行命题运算：﹁(ab=0)→﹁[(a=0)∨(b=0)]≡(ab≠0)→(a≠0)∧(b≠0)最后,得逆否命题“若ab≠0,则a=0且b=0”。Page23若命题p→q真,则称p是q成立的充分条件；若命题q→p真,则称p是q成立的必要条件；若命题p→q与p→q同真,则称p是q成立的充要条件(既充分又必要条件)；若命题p→q与p→q同假,则称p是q成立的既不充分又不必要条件。1100序号①②③④pq1010p→qq→p10111101Page24分析上表：当p→q真时,p真足可保证q也真①(不排除p假时q还可真③),因而p是q的充分条件；当q→p真时,没有p真就不会有q真④(不排除有了p真还可q假②),因而p是q的必要条件；当p→q与q→p同真时,p与q同真假①④,因而p与q互为充要条件；由此,命题条件与结论间的逻辑关系可分为四种情形：p是q的充分而非必要条件(表中的③)；p是q的必要而非充分条件(表中的②)；p是q的充要条件(表中的①④)；p是q成立的既不充分又不必要条件。Page25（5）命题的合并①同一数学对象诸性质定理的合并②同一数学对象诸判定定理的合并例如，设p：两直线平行,：同位角相等,：内错角相等。则命题p→,p→可合并为：1q2q1q2q(p→)∧(p→)≡(﹁p∨)∧(﹁p∨)1q2q2q1q≡﹁p∨(∧)1q2q≡p→(∧)1q2q即：两直线平行，则同位角且内错角相等。应用命题运算，将几个简单命题合并成一个形式简单的复合命题，称为命题的合并.Page26在上例中，两判定定理“若同位角相等，则两直线平行”、“若内错角相等，则两直线平行”，可合并为：1212qqqq（p）(p)(p)(p)12()qpq12()pqq12()pqq这就是：两直线被第三直线所截，若同位角或内错角相等，则这两直线平行。Page27（6）对含有量词的命题否定※命题中的量词常用两个：表示全体的全称量词——表示部分的特称量词——※含有量词命题的否定，有下述关系成立：①﹁[]≡(﹁p(x))(())xpxx②﹁[x(p(x))]≡x(﹁p(x)).Page28二、数学命题的教学数学中的定义、法则、定律、公式、性质、公理、定理等，都是数学命题.数学命题是数学知识的主体，它与概念、推理、证明有着密切的联系：命题由概念组成，概念由命题揭示；命题是组成推理的要素，而很多数学命题是经过推理获得的；命题是证明的的重要依据，而命题的真实性一般都需要经过证明才能确认.数学命题教学的基本任务，是使学生认识命题的条件和结论，掌握证明命题的推理过程和证明方法，运用所学的命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答实际问题.并在此基础上，使学生弄清数学命题间的关系，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系.Page291重视数学命题引入的教学（1）发现式引入，即通过实践去发现（2）过渡性引入2重视数学命题证明与推导的教学3重视数学命题应用的教学4重视建立数学命题系统知识的教学（五）数学命题教学基本要求Page30思考题：1.什么是判断？什么是命题？2.常用的逻辑联结词有哪些？3.什么是逻辑等价？4.指出命题四种形式的相互关系.5.写出命题“等腰三角形顶角的平分线也是底边的中垂线”的逆命题和逆否命题.6.何谓充分条件？何谓必要条件？