平面向量的正交分解极坐标表示、运算

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解ABCDoxyija平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ij+aaijxyxy对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使这里，我们把（x,y）叫做向量的坐标，记作a(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。aaABCDoxyij思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设，填空：,OAiOBj（1）||_____,||______,||______;ijOC（2）若用来表示则：,ij34ij1153547（3）向量能否由表示出来？可以的话，如何表示？CD,ij23CDijEF________.OCuuurOCuuurMN方法总结)4,3(OC例题解析OxyAijaxy+axiyj+OAxiyj),(yxOA),(yx返回例1.如图，分别用基底，表示向量、、、，并求出它们的坐标。ijabcdAA1A2解：如图可知1223aAAAAij(2,3)a同理23(2,3);23(2,3);23(2,3).bijcijdij§2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示思考：已知，你能得出的坐标吗？1122(,),(,)axybxy,,ababa平面向量的坐标运算：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标例2.如图，已知，求的坐标。1122(,),(,)AxyBxyABxyOBA解：ABOBOA2211(,)(,)xyxy2121(,)xxyy小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。例3.已知，求的坐标。(2,1),(3,4)ab,,34ababab)19,6()16,12()3,6()4,3(4)1,2(343)3,5()4,3()1,2()5,1()4,3()1,2(bababa解：例4.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法１：设点D的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCxyxyABDC且(1,2)(3,4)xy1324xy解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）例4.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法2：由平行四边形法则可得(2(1),13)(3(1),43)(3,1)BDBABC而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD所以顶点D的坐标为（2，2）