弹性力学与有限元分析复习题(含答案)

1分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1）ByAxx，DyCxy，FyExxy；（2）)(22yxAx，)(22yxBy，Cxyxy；其中，A，B，C，D，E，F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程00xyyxxyyyxx；（2）在区域内的相容方程02222yxyx；（3）在边界上的应力边界条件sflmsfmlysxyyxsyxx；（4）对于多连体的位移单值条件。（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量312xCQxyx，2223xyCy，yxCyCxy2332，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程00xyyxxyyyxx得023033322322212xyCxyCxCyCxCQy即0230333222231xyCCyCQxCC由x，y的任意性，得2023030332231CCCQCC由此解得，61QC，32QC，23QC3、已知应力分量qx，qy，0xy，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量qx，qy，0xy，代入平衡微分方程00YxyXyxxyyyxx可知，已知应力分量qx，qy，0xy一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：yxxyxyxyyx22222)1(2)()(将已知应力分量qx，qy，0xy代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：yxxyxyxyyx2222212)1()1(将已知应力分量qx，qy，0xy代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（1）Axyx，3Byy，2DyCxy；（2）2Ayx，yBxy2，Cxyxy；（3）0x，0y，Cxyxy；其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即3yxxyxyyx22222将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）CByA22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则0x，0y，0xy（1分）。5、证明应力函数2by能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0b）。解：将应力函数2by代入相容方程024422444yyxx可知，所给应力函数2by能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为byx222，022xy，02yxxy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2hy，0l，1m，0)(2hyxyxf，0)(2hyyyf；下边，2hy，0l，1m，0)(2hyxyxf，0)(2hyyyf；左边，2lx，1l，0m，bflxxx2)(2，0)(2lxxyyf；右边，2lx，1l，0m，bflxxx2)(2，0)(2lxxyyf。l/2l/2h/2h/2yxO4可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数2by能解决矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布压力（b0）的问题。6、证明应力函数axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0a）。解：将应力函数axy代入相容方程024422444yyxx可知，所给应力函数axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为022yx，022xy，ayxxy2对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2hy，0l，1m，afhyxyx2)(，0)(2hyyyf；下边，2hy，0l，1m，afhyxyx2)(，0)(2hyyyf；左边，2lx，1l，0m，0)(2lxxxf，aflxxyy2)(；右边，2lx，1l，0m，0)(2lxxxf，aflxxyy2)(。可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分l/2l/2h/2h/2yxO5Oxybqg量。解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设0x。由此可知022yx将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式)()(,21xfyxfyx将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得0)()(424414dxxfddxxfdy这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即0)(414dxxfd，0)(424dxxfd这两个方程要求ICxBxAxxf231)(，KJxExDxxf232)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得2323)(ExDxCxBxAxy对应应力分量为022yxgyEDxBAxyxy26)26(22CBxAxyxxy2322以上常数可以根据边界条件确定。左边，0x，1l，0m，沿y方向无面力，所以有0)(0Cxxy右边，bx，1l，0m，沿y方向的面力为q，所以有qBbAbbxxy23)(2上边，0y，0l，1m，没有水平面力，这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即60)(00dxybxy将xy的表达式代入，并考虑到C=0，则有0)23(2302302BbAbBxAxdxBxAxbb而00)(00dxybxy自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0)(00dxyby，0)(00xdxyby将y的表达式代入，则有02323)26(2020EbDbExDxdxEDxbb022)26(230230EbDbExDxxdxEDxbb由此可得2bqA，bqB，0C，0D，0E应力分量为0x,gybxbyqy312,23bxbxqxy虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为xVfx，yVfy，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，Vyx22，Vxy22，yxxy2，试导出相应的相容方程。证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x，y，xy应当满足平衡微分方程00yVxyxVyxxyyyxx（1分）还应满足相容方程yfxfyxyxyx12222（对于平面应力问题）7yfxfyxyxyx112222（对于平面应变问题）并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为00xVyyVxxyyyxx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为yxxyVx根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得yAVx，xAyx同样，将第二个方程改写为yxyxVy（1分）可见也一定存在某一函数B（x，y），使得xBVy，yByx由此得yBxA因而又一定存在某一函数yx,，使得yA，xB代入以上各式，得应力分量Vyx22，Vxy22，yxxy2为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数yx,必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得VyxVxVyyx22222222222218VyxVyxxyyx222222222222222212简写为V24)1(将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得VyxVxVyyx22222222222211VyxVyxxyyx2222222222222222112简写为V241219、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。解：纯三次的应力函数为3223dycxyybxax相应的应力分量表达式为dycxxfyxx6222,gybyaxyfxyy2622,cybxyxxy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边，0y，0l，1m，没有水平面力，所以有02)(0bxyxy对上端面的任意x值都应成立，可见0b同时，该边界上没有竖直面力，所以有06)(0axyyOxyg9对上端面的任意x值都应成立，可见0a因此，应力分量可以简化为dycxx62，gyy，cyxy2斜面，tanxy，sin2cosl，coscosm，没有面力，所以有00tantanxyxyy