流体力学典型例题

典型例题1基本概念及方程【1－1】底面积A＝0.2m×0.2m的水容器，水面上有一块无重密封盖板，板上面放置一个重量为G1＝3000N的铁块，测得水深h＝0.5m，如图所示。如果将铁块加重为G2＝8000N，试求盖板下降的高度Δh。【解】:利用体积弹性系数计算体积压缩率：Epvv//)/(00BppnpEp为绝对压强。当地大气压未知，用标准大气压Pap501001325.1代替。PaAGpp51011076325.1/PaAGpp52021001325.3/因01/pp和02/pp不是很大，可选用其中任何一个，例如，选用02/pp来计算体积弹性系数：PaBppnpE9020101299.2)/(在工程实际中，当压强不太高时，可取PaE9101.2512104827.6/)(///EppEpvvhhmhh55102413.310604827【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打开阀门1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计的读数Δh1＝150mm，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh2＝210mm。已知a＝1m，求深度h及油的密度ρ。【解】水银密度记为ρ1。打开阀门1时，设压缩空气压强为p1，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有同样，打开阀门2时，两式相减并化简得代入已知数据，得所以有2基本概念及参数【1－3】测压管用玻璃管制成。水的表面张力系数σ＝0.0728N/m，接触角θ＝8º，如果要求毛细水柱高度不超过5mm，玻璃管的内径应为多少？【解】由于因此【1－4】高速水流的压强很低，水容易汽化成气泡，对水工建筑物产生气蚀。拟将小气泡合并在一起，减少气泡的危害。现将10个半径R1＝0.1mm的气泡合成一个较大的气泡。已知气泡周围的水压强po＝6000Pa，水的表面张力系数σ＝0.072N/m。试求合成后的气泡半径R。【解】小泡和大泡满足的拉普拉斯方程分别是设大、小气泡的密度、体积分别为ρ、V和ρ1、V1。大气泡的质量等于小气泡的质量和，即合成过程是一个等温过程，T=T1。球的体积为V＝4/3πR3，因此令x＝R/R1，将已知数据代入上式，化简得上式为高次方程，可用迭代法求解，例如，以xo=2作为初值，三次迭代后得x＝2.2372846，误差小于10－5，因此，合成的气泡的半径为还可以算得大、小气泡的压强分布为，。【1－5】一重W＝500N的飞轮，其回转半径ρ＝30cm，由于轴套间流体粘性的影响，当飞轮以速度ω＝600转/分旋转时，它的减速度ε＝0.02m/s2。已知轴套长L＝5cm，轴的直径d＝2cm，其间隙t=0.05mm，求流体粘度。【解】：由物理学中的转动定律知，造成飞轮减速的力矩M＝Jε,飞轮的转动惯量J所以力矩另一方面，从摩擦阻力F的等效力系看，造成飞轮减速的力矩为：为线性分布。则摩擦阻力矩应等于M，即T=M即所以3流体静力学【2－1】试求解图中同高程的两条输水管道的压强差p1－p2，已知液面高程读数z1＝18mm，z2＝62mm，z3＝32mm，z4＝53mm，酒精密度为800kg/m3。【解】设管轴到水银面4的高程差为ho，水密度为ρ，酒精密度为ρ1，水银密度为ρ2，则将z的单位换成m，代入数据，得【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打开阀门1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计的读数Δh1＝150mm，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh2＝210mm。已知a＝1m，求深度h及油的密度ρ。【解】水银密度记为ρ1。打开阀门1时，设压缩空气压强为p1，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有同样，打开阀门2时，两式相减并化简得代入已知数据，得所以有【2－3】人在海平面地区每分钟平均呼吸15次。如果要得到同样的供氧，则在珠穆朗玛峰顶（海拔高度8848m）需要呼吸多少次？【解】:海平面气温T0=288,z=8848m处的气温为峰顶压强与海平面压强的比值为峰顶与海平面的空气密度之比为呼吸频率与空气密度成反比，即，【2－4】如图所示，圆形闸门的半径R＝0.1m，倾角α＝45o，上端有铰轴，已知H1＝5m，H2＝1m，不计闸门自重，求开启闸门所需的提升力T。【解】设y轴沿板面朝下，从铰轴起算。在闸门任一点，左侧受上游水位的压强p1，右侧受下游水位的压强p2，其计算式为平板上每一点的压强p1－p2是常数，合力为（p1－p2）A，作用点在圆心上，因此代入已知数据，求得T＝871.34N。【2－5】盛水容器底部有一个半径r＝2.5cm的圆形孔口，该孔口用半径R＝4cm、自重G＝2.452N的圆球封闭，如图所示。已知水深H＝20cm，试求升起球体所需的拉力T。【解】用压力体求铅直方向的静水总压力Fz：由于，因此，，，【2－6】如图所示的挡水弧形闸门，已知R＝2m，θ＝30o，h＝5m，试求单位宽度所受到的静水总压力的大小。【解】水平方向的总压力等于面EB上的水压力。铅直方向的总压力对应的压力体为CABEDC。【2－7】如图所示，底面积为b×b＝0.2m×0.2m的方口容器，自重G＝40N，静止时装水高度h＝0.15m，设容器在荷重W＝200N的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦系数f＝0.3，试求保证水不能溢出的容器的最小高度。【解】解题的关键在于求出加速度a。如果已知加速度，就可以确定容器里水面的斜率。考虑水、容器和重物的运动。系统的质量M和外力分别为因此，系统的重力加速度为代入数据得a=5.5898m/s2容器内液面的方程式为坐标原点放在水面（斜面）的中心点，由图可见，当x＝－b/2时，z＝H－h，代入上式，可见，为使水不能溢出，容器最小高度为0.207m。【2－8】如图所示，液体转速计由一个直径为d1的圆筒、活塞盖以及与其连通的直径为d2两支竖直支管构成。转速计内装液体，竖管距离立轴的距离为R，当转速为ω时，活塞比静止时的高度下降了h，试证明：【解】活塞盖具有重量，系统没有旋转时，盖子处在一个平衡位置。旋转时，盖子下降，竖管液面上升。设系统静止时，活塞盖如实线所示，其高度为h1，竖管的液面高度设为H1。此时，液体总压力等于盖子重量，设为G：旋转时，活塞盖下降高度为h，两支竖管的液面上升高度为H。液体压强分布的通式为将坐标原点放在活塞盖下表面的中心，并根据竖管的液面参数确定上式的积分常数C。当r＝R，z＝H1-h1＋H+h时，p＝pa，因此，液体压强分布为旋转时，液体压力、大气压力的合力应等于盖子重量，即因盖子下表面的相对压强为代入G式并进行积分，得到代入上式，化简得由图中看出，活塞盖挤走的液体都进入两支竖管，因此所以有【2－9】如图所示，U形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为R1和R2，其液面高差为Δh，试求ω的表达式。如果R1＝0.08m，R2＝0.20m，Δh＝0.06m，求ω的值。【解】两竖管的液面的压强都是pa（当地大气压），因而它们都在同一等压面上，如图虚线所示。设液面方程为不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为h。现根据液面边界条件进行计算。当r＝R1，z＝h及r＝R2，z＝h＋Δh时；两式相减得所以【2－10】航标灯可用如图所示模型表示：灯座是一个浮在水面的均质圆柱体，高度H＝0.5m，底半径R＝0.6m，自重G＝1500N，航灯重W=500N，用竖杆架在灯座上，高度设为z。若要求浮体稳定，z的最大值应为多少？【解】浮体稳定时要求倾半径r大于偏心距e，即re先求定倾半径r＝J/V，浮体所排开的水的体积V可根据吃水深度h计算。，再求偏心距e，它等于重心与浮心的距离。设浮体的重心为C，它到圆柱体下表面的距离设为hC，则根据浮体稳定的要求有化简得r，h的值已经算出，代入其它数据，有z1.1074m【2－11】如图所示水压机中，已知压力机柱塞直径D＝25cm，水泵柱塞直径d＝5cm，密封圈高度h＝2.5cm，密封圈的摩擦系数f＝0.15，压力机柱塞重G＝981N，施于水泵柱塞上的总压力P1=882N，试求压力机最后对重物的压力F。【解】：P1所形成的流体静压力压力机柱塞上的总压力静压力作用在密封圈上的总压力为p∏Dh，方向与柱塞垂直。所以密封圈上的摩擦力故压力机对重物的压力为4流体运动的基本概念及方程【3－1】已知平面流动的速度分布为，试计算点（0，1）处的加速度。【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。将，，代入，得所以有：在点（0，1）处，，算得，【3－2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程：（1），（2），（3），【解】:（1），，（2）（3）从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。当然，使用直角坐标也可以进行有关计算，但求导过程较为复杂。，【3－3】已知平面流场的速度分布为，，试求t＝1时经过坐标原点的流线方程。【解】对于固定时刻to，流线的微分方程为积分得这就是时刻to的流线方程的一般形式。根据题意，to＝1时，x＝0，y＝0，因此C＝2【3－4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为ρ＝800kg/m3，水银密度为ρ’＝13600kg/m3，水银压差计的读数Δh＝60mm，求该点的流速u。【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线1－0。这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。流体沿这条流线运动时，速度是发生变化的。在管口上游远处，流速为u。当流体靠近管口时，流速逐渐变小，在管口处的点0，速度变为0，压强为po，流体在管口的速度虽然变化为0，但流体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点0开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过管口之后，速度逐渐加大至u。综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点1，速度为u，压强为p，在点0，速度为0，压强为po，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是由此可见，只要测出压差为po－p，就可以求出速度u。不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为l。由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流，沿管截面压强的变化服从静压公式，因此，式中，ρ和ρˊ分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算，Δh的单位应该是用m表示，Δh＝0.06m，得速度为u＝4.3391m/s。【3－5】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量，在排风管出口处装有一个收缩、扩张的管嘴，其喉部处装有一个细管，下端插入水中，如图所示。喉部流速大，压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度ρ＝1.25kg/m3，管径d1＝400mm，d2＝600mm，水柱h＝45mm，试计算体积流量Q。【解】截面1－1的管径小，速度大，压强低；截面2－2接触大气，可应用伯努利方程，即利用连续方程，由上式得此外细管有液柱上升，说明p1低于大气压，即式中，ρˊ是水的密度，因此由d1＝400mm，d2＝600mm可以求出A1和A2，而ρ、ρˊ、h皆已知，可算得【3－6】如图所示，水池的水位高h＝4m，池壁开有一小孔，孔口到水面高差为y，如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离x＝2m，求y的值。如果要使水柱射出的水平距离最远，则x和y应为多少？【解】孔口的出流速度为流体离开孔口时，速度是沿水平方向的，但在重力作用下会产生铅直向下的运动，设流体质点从孔口降至地面所需的时间为t，则消去t，得，即解得如果要使水柱射出最远，则因为x是y的函数，当x达到极大值时，dx/dy＝0，上式两边对y求导，得【3－7】如图所示消防水枪的水管直径d1＝0.12m，喷嘴出口直径d2＝0.04m，消防人员持此水枪向距离为l＝12m，高h＝15m的窗口喷水，要求水流到达窗口时具有V3＝10m/s的速度，试求水管的相对压强和水枪倾角θ。【解】解题思路：已知V3利用截面2－2和3－3的伯努利方程就可以求出V2。而利用截面1－1和2－2的伯努利方程可以求出水管的相对压强p1－pa。水流离开截面2－2以后可以