流体力学基本概念

第二章流体力学基本概念1.连续介质假设2.流体的性质与分类3.描述流体的两种方法4.轨迹和流线5.速度分解定理6.变形速度张量7.涡旋运动的基本概念8.作用在流体上的力9.物质积分的随体导数1.连续介质假设•流体所在的空间可以看成由流体质点连续无间隙地充满着，而流体质点是宏观充分小、微观充分大的分子团。•流体速度、压力、密度、温度、内能、熵、焓等宏观物理量可表示为空间位置坐标的连续函数。•流体微团所经历的热力过程是准平衡过程，即假设流体质点在偏离某一热力平衡状态后会立刻趋向并达到新的平衡状态，其宏观物理量时时刻刻是确定的并且随时间连续变化。空间尺度上：微观结构运动尺度微团的空间尺度宏观现象的特征尺度时间尺度上：分子碰撞时间物理量弛豫时间流动现象的时间尺度2.流体的性质与分类•易流动性：流体分子间的作用力较弱或很弱，很小的切向力，都可使流体产生任意大的变形。静止流体只受法向力，而切向力为零。•粘性：流体所具有的抵抗两层流体相对滑动速度或普遍地说抵抗变形的性质，称作粘性。牛顿平板实验：理想流体、粘性流体•压缩性：流体质点（其质量一定）的体积或密度在受到一定压力差或温度差的条件下可以改变的性质称作流体的可压缩性。不可压缩流体、可压缩流体3.描述流体运动的两种方法：a.拉格朗日法：着眼于流体中的每个质点的空间位置随时间的变化设t=t0时，某流体质点初始位置为(a,b,c)a,b,c称为拉格朗日变数，且与时间t无关，代表各质点的编号，通常将流体质点在初始时刻t=t0所在位置的空间坐标设定为质点的编号，因而又称(a,b,c)为拉格朗日坐标。速度：加速度：b.欧拉方法：关注在某一时刻流经每一空间点(x,y,z)的流体质点的运动状态，着眼于空间固定点上流体运动随时间的变化。研究流体的宏观物理量的空间分布随时间的变化。速度：加速度：随体导数=局部导数+位变导数•场的定义及分类：在空间某个区域内定义的标量或矢量函数函数性质•标量场：温度场，密度场，气压场•矢量场：引力场，电磁场，速度场时间变化•定常场：非定常：空间分布•均匀场：非均匀场：c.两种方法的转换•拉氏描述欧拉描述在流动区域的任一空间点只能有唯一一个流体质点存在，反过来看，在任一时刻t处于空间位置(x,y,z)的流体质点总有一个唯一的初始位置即拉格朗日坐标(a,b,c)与之对应。c.两种方法的转换•欧拉描述拉氏描述把空间位置理解为拉格朗日坐标为(a,b,c)的流体质点在时刻t经过的空间点:该流体质点时刻t流经空间点(x,y,z)时的速度:积分求解左侧微分方程：积分常数c1,c2,c3形式如下：4.轨线和流线•轨线：流体质点在空间运动时所描绘的曲线与拉格朗日描述相联系•流线：在某一固定时刻，在流场中存在着这样的曲线，该曲线上每一点的切线总与该点处流体质点的速度方向重合。同欧拉观点相联系在定常场中，流线和轨迹必然重合，而在不定常场中，轨迹和流线一般是不重合的。轨线流线5.速度分解定理刚体的运动可分解为：平移+转动两边取旋度：在刚体运动中与坐标无关3xzryxzy)(xyzyxzxyzr2V流体的运动可分解为：平移+转动+变形可否照搬刚体的结论？研究点领域内的流体微元的运动：在某时刻t，空间相邻两点，的速度为，，将在点的领域内做泰勒展开，忽略二阶小量：0M0()Mr()rMr0()VM()VM()VM0()Mr速度梯度张量速度梯度共轭张量速度梯度张量可分解为对称张量S和反对称张量A：11()()22ccVVVVVSA反对称张量A只有三个独立分量32123101()020iijjjiVaxxAV213111(),(),()222wvuwvuyzzxxy12V与刚体中形式相同！为等效流体角速度书上有误0iijjijjxVxsa根据反对称张量的性质：rAr1()2ijjxrVra12Sr流体微元速度的第三项：222111232313122233xxxxxxxxx流体微团的速度：•亥姆霍兹速度分解定理：流体的运动可以分解为平动、转动和变形三部分之和S也称为变形速度张量流体运动与刚体运动的区别：1.包含许多流体质点的流体微团，其运动速度分解多了变形速度率张量部分；2.流体的速度分解定理只是在流体微团内成立，是局部性定理，而刚体速度分解定理对于整个刚体成立，是整体性定理。（与位置有关）123012VVVVrV2iijjVxxtx此项表示的是在单位时间内、流体微元在个方向的投影沿各坐标轴方向的变化，表示流体微元的形变6.变形速度张量1.的物理意义：沿三个坐标轴方向的拉伸或压缩的变形速度i若令变形速度只剩一项，它表示沿x方向的速度随x的不同而变化，这种速度差造成线型拉伸设定一流场，u=u(x);v=w=0，在流场中取一维线元AB，沿x轴正向线元AB长度为，由时间t到：ttAB的伸长量其中AB的相对伸长速率x同理可知另外两个方向流体微团的相对体积膨胀率：2.的物理意义：yz轴、xz轴、xy轴之间夹角在单位时间内增加量的负值。角变形速率或剪切应变率。考虑所以，是一种流体可压缩性的度量。V不可压流体i33xyyvxv变形速度矢量在x方向的大小与y坐标有关：剪切更仔细的看一下，不妨取平面流动u=u(y);v=v(x);w=0，取微小矩形面元ABCD。t时刻：B点相对A点的速度D点相对A点的速度t+dt时刻:ABCDA’B’C’D’，产生了角变形，以A’为参考点:DD’,沿ｘ方向右移BB’,沿ｙ方向上移x(i)y(j)dt时间内，坐标轴线上线元AB、AD的转角为:角ＢＡＤ单位时间内的减小量:定义单位时间内xy平面上角度的平均减小量为运动流体在xy平面上的角变形速率或剪切应变率:同理可得23,3.转动角速度ABCD运动到A’B’C’D’时，对角线AC经过dt时间转动了角度:转动角速度为:同理可知另两个分量为:即为流体微团的旋转角速度例题217.涡旋运动的基本概念•涡旋的概念从速度分解定理可知，刻划流体微团的转动部分：方向：微团的瞬时转动轴大小：角速度的2倍定义流体速度的旋度为流场的涡量：根据斯托克斯公式：不妨取封闭圆形面积元S，半经为a，则平均涡量为V平均速度平均角速度涡旋矢量的大小是流体微团绕该点旋转的平均角速度的两倍，方向与微团的瞬时转动轴线重合。涡量是空间和时间的连续函数，和速度一样，涡量构成了矢量场，称为涡量场。涡旋在宏观上表现为旋涡、环流。如沸腾的开水、波涛汹涌、翻滚的洪水。•涡线、涡面和涡管涡线：对于同一时刻涡量场中的质点线，若其上任何一点的切线方向与该点流体涡量方向一致，这条曲线就成为涡线。涡线方程可表示为：（参看流线方程）涡面：在涡量场中任取一条非涡线的曲线，过该曲线的每一点作同一时刻的涡线，就构成一个曲面，称为涡面。涡管：在涡量场中取非涡线的封闭曲线，则在同一时刻过该曲线的每一点作涡线，就形成了一个管状曲面，称为涡管。•剪切流动(表象和内在的区别）速度场：涡量场为：处处有涡旋，但表面上看不出漩涡•点涡运动速度场(柱坐标)：从表面上看，流体质点绕着z轴作圆周运动，但除原点外，处处无旋详见后面例题•流体运动的分类流体运动复杂多样，将流体流动分类，从简单到复杂流动，积累流动规律。同一类别的流动，具有共同的特点，不同类别的流动，相互之间有着本质的差异。1.按运动形式：若整个流场，则称此流动为无旋运动；否则，称为有旋运动2.时间：若，称作定常运动；否则称作非定常运动3.空间:一维运动，所有物理量依赖于一个曲线坐标:二维运动，所有物理量依赖于两个曲线坐标:三维运动，所有物理量依赖于三个曲线坐标:0V0t8.作用在流体上的力•密度在某时刻t,任取一流体微团，其体积为，质量为密度分布函数定义为：•质量力（体积力,体力）：作用在流体微团内每个质点上的力，大小与其质量成正比，与周围有无其他流体无关，与其表面取向无关，非直接接触。例如，引力，惯性力等。单位质量流体所受的质量力：单位体积流体所受的质量力：m•面力：与流体界面直接接触的流体或固体作用于界面上的力。例如压力，浮力，粘性摩擦力等。设M点邻近的微元面积，法线方向为，承受的面力记为，则单位面积的表面积受到的表面力记为，称作应力（M点处）注意：应力是空间和时间的函数，同时也与面积S的取向有关：应力的方向一般不与法向重合，分为法向应力和切向应力：应力矢量在直角坐标系中：应力分量有两个下标：第一个表示作用面的法线方向，第二个表示应力投影方向Snpnp•应力张量流体面元上的应力应力张量表示在某时刻t，在流体中任取以M为顶点的微四面体，设MA=dx,MB=dy,MC=dz，面元ABC的法向单位矢量：设面元ABC的面积为，则与坐标轴垂直的三面面积分别为,,.显然有：四面体体积：h为顶点M到面元ABC的距离。注意，h为一阶小量，为二阶小量，为三阶小量nSxSySzSS四面体受力面元ABC上的应力其在各方向的投影定义应力张量P法向应力分量切向应力分量注意：应力张量不再与法向量有关，只是空间和时间的函数。•应力张量的对称性平衡时，作用于四面体MABC上的表面力的合力矩应等于零。面力均匀作用于面元上，作用点取各面元重心：G1，G2，G3，G。注意：G1，G2，G3是G在三个坐标平面上的投影。令：由合力矩为零有：注意作用力与反作用力相等:且：又：两式相减因为而实际是在yz平面的投影，所以有：1rr1ryjzk又因为G1G2G3所确定平面与ABC平行，所以与ABC面的法向量垂直：12rrn()()0xyzxyyjxininjnkxnyn同理：展开：各分量分别等于0：说明应力张量具有对称性，是二阶对称张量，其有九个分量，只有6个是独立的1.无粘流体的应力张量无粘流体对于切向变形没有任何抵抗能力，内部应力处处与其作用面相垂直。因为流体不能承受切向力，这使得表面的压力必定是法向应力。无粘流体只需要一个标量函数p(压力函数）便可刻划任一点的应力状态：2.静止流体的应力张量同样，因为流体有流动性，因此不能在承受切向应力时静止，一旦静止，则只存在法向应力：p代表静力学压强。9.物质积分的随体导数基本假设是流体质点组成的线段、面、体，其变化是连续的推广：初始时刻的封闭曲线，在以后的任何时刻组成的曲线仍然是闭合的；初始时刻连续的曲面，在以后的任何时刻仍然组成连续曲面；初始时刻闭合曲面（有限体），在以后的任何时刻仍然组成闭合曲面；流体的各种物理量都是由线积分、面积分或体积分定义的，在流体运动过程中，这些微元也会发生变化（旋转、拉伸、变形）。所以，要求流体物理量随时间的变化，我们需要研究微元（线面体）随时间的变化，称为随体导数对于一直保持连续的线、面、体我们可以对其积分求随体导数。a)线元、面元和体元的随体导数线元：yrxrrzrxtytzttddVVVxyzrVxyz注，这里是并矢并矢中包含了角速度和变形速度张量：微团旋转和变形表示对空间的微分，与随体导数d相区别体元：面元：yxzxtytdztdtyxzVVVVxyz速度散度表示体积的相对压缩率：微团拉伸变形对体元求导提出dr，注意微团的拉伸、旋转和变形b)线积分、面积分和体积分的随体导数设t时刻有封闭曲线L，t’时刻变为L’矢量线积分的随体导数：注意：微分不是直接作用与上，而是多出一项，表现了的变形与旋转。标量线积分的随体导数：例：对速度场的环线积分aaa()LrdVdt全导数的环线积分＝0可将对时间的导数与积分号交换次序矢量面积分的随