全等三角形几种常见辅助线精典题型

1全等三角形几种常见辅助线精典题型一、截长补短1、已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．2、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?3、如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，求AB的长。4、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.NEBMADDOECBAMDCBAFEDCBA25、以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分DOE．6、如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．7、如图所示，在ABC中，ABAC，D是底边BC上的一点，E是线段AD上的一点，且2BEDCEDBAC，求证2BDCD.8、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDEFABCDEOOEDCBANMDCBAEDCBACEDBA3二、全等与角度1、如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数.2、如图所示，在ABC中，ACBC，20C，又M在AC上，N在BC上，且满足50BAN，60ABM，求NMB.3、在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.DCBANMCBADECBA44、如图所示，在ABC中，44BACBCA，M为ABC内一点，使得30MCA，16MAC，求BMC的度数.5、如图：在ABC内取一点M，使得MBA30，10MAB.设80ACB，ACBC，求AMC.6、如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？如是正五边形，正六边形呢？MCABMCBANCDEBMA5参考答案：一、截长补短1、BECDBC，理由是：在BC上截取BFBE，连结OF，利用SAS证得BEO≌BFO，∴12，∵60A，∴1901202BOCA，∴120DOE，∴180ADOE，∴180AEOADO，∴13180，∵24180，∴12，∴34，利用AAS证得CDO≌CFO，∴CDCF，∴BCBFCFBECD．2、DMMN.过点M作MGBD∥交AD于点G，AGAM，∴GDMB又∵120ADMDMA∠，120DMANMB∠∠∴ADMNMB∠∠，而120DGMMBN∠∠，∴DGMMBN≌，∴DMMN．3、过点D作BC的垂线，垂足为E.∵∠AMD=75°，∠BMC=45°∴∠DMC=60°∵DM=CM∴CD=DM∵AD⊥AB，DE⊥BC，CB⊥AB，∠AMD=75°∴∠ADM=∠EDC∴△ADM≌△CDE∴AD=DE故ABED为正方形，AB=AD=h，选D.4、延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF∴△ABM≌△ADF∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM∵AB∥CD∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.5、因为ABD、ACE是等边三角形，所以ABAD，AEAC，CAE60BAD，则BAEDAC，所以BAEDAC≌，则有ABEADC，AEBACD，BEDC．在DC上截取DFBO，连结AF，容易证得ADFABO≌，ACFAEO≌．进而由AFAO．得AFOAOF；由AOEAFO可得AOFAOE，即OA平分DOE．4321FDOECBAGNEBMADEMDCBAMFEDCBAFABCDEOOEDCBA66、如图所示，延长AC到E使CEBM.在BDM与CDE中，因为BDCD，90MBDECD，BMCE，所以BDMCDE≌，故MDED.因为120BDC，60MDN，所以60BDMNDC.又因为BDMCDE，所以60MDNEDN.在MND与END中，DNDN，60MDNEDN，DMDE，所以MNDEND≌，则NEMN，所以AMN的周长为2.7、如图所示，作BED的平分线交BC于F，又过A作AHEF∥交BE于G，交BC于H，则知12EAGDEFBEFAGEBAC，从而GEAE.又12AGEBEDCED，则AGBCEA.由ABEBAEBEDBACCAEBAE可得ABGCAE.注意到ABCA，故有ABGCAE≌，从而BGAE，AGCE，于是BGGE.又由AHEF∥，有BHHF，12GHEF，且AHHDEFFD.而CEDFED，从而1122CDECAGAHGHAHHDFDEFEFEFEFFD，即1111122222CDHDFDHFFDBFFDBD，故2BDCD.8、延长DE至F，使得EF=BC，连接AC.∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF∵AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF∴EF=BC，AC=AF∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.二、全等与角度1、如图所示，延长AB至E使BEBD，连接ED、EC.由ACABBD知AEAC，而60BAC，则AEC为等边三角形.注意到EADCAD，ADAD，AEAC，故AEDACD≌.从而有DEDC，DECDCE，故2BEDBDEDCEDECDEC.EABCDMNGHFEDCBAABDEFCEDCBA7所以20DECDCE，602080ABCBECBCE【另解】在AC上取点E，使得AEAB，则由题意可知CEBD.在ABD和AED中，ABAE，BADEAD，ADAD，则ABDAED≌，从而BDDE，进而有DECE，ECDEDC，AEDECDEDC2ECD.注意到ABDAED，则：1318012022ABCACBABCABCABCBAC，故80ABC.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE，利用角平分线AD可以构造全等三角形.同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.2、过M作AB的平行线交BC于K，连接KA交MB于P.连接PN，易知APB、MKP均为正三角形.因为50BAN，ACBC，20C，所以50ANB，BNABBP，80BPNBNP，则40PKN，180608040KPN，故PNKN.从而MPNMKN≌.进而有PMNKMN，1302NMBKMP3、如图所示，连接DC.因为ADBD，ACBC，CDCD，则ADCBDC≌，故30BCD.而DBEDBC，BEABBC，BDBD，因此BDEBDC≌，故30BEDBCD.4、在ABC中，由44BACBCA可得ABAC，92ABC.如图所示，作BDAC于D点，延长CM交BD于O点，连接OA，则有30OACMCA，443014BAOBACOAC，301614OAMOACMAC，所以BAOMAO.又因为90903060AODOADCOD，所以120AOMAOB.120BOM而AOAO，因此ABOAMO≌，故OBOM.由于120BOM，EDCBADNMCBADECBAODMCAB8则180302BOMOMBOBM，故180150BMCOMB5、如图所示，ABC的高CH与直线BM交于点E，则AEBE.而301020EAMEABMAB，1402ACEACB，(9040)3020EACCAHEAB，103040AMEMABMBA，由两角夹一边法则可知AMEACE≌，因此AMAC，1(180)702AMCACMCAM6、DMMN.在AD上截取AGAM，∴DGMB，∴45AGM∠∴135DGMMBN∠∠，∴ADMNMB∠∠，∴DGMMBN≌，∴DMMN．EHABCMNCDEBMA