基本不等式教学设计

教学课题《必修5》3.4基本不等式2abab河北任丘第一中学史亚军课标要求知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；识记理解应用综合知识点一：基本不等式及其推导过程∨知识点二：基本不等式的应用∨目标设计1.通过从不同角度探索不等式2baab的证明过程，使学生理解基本不等式及其等号成立的条件；2.掌握基本不等式解决最值问题，并理解运用基本不等式2baab的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用。教学情境一：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22ab。教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。知识点认知层次我们考虑4个直角三角形的面积的和是abS21，正方形的面积为222baS。由图可知12SS，即abba222．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab。新知：若Rba,，则222abab教学情境二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a和b（ba）问题2：考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？新知：若Rba,，则2baab问题3：你能用代数的方法给出它们的证明吗？证明：因为0)(2222baabba，即.222abba（当ba时取等号）（在该过程中，可发现ba,的取值可以是全体实数）证明：（分析法）：由于Rba,，于是要证明abba2，只要证明abba2，即证02abba，即0)(2ba，所以abba2，（当ba时取等号）【板书】两个重要不等式若Rba,，则2baab（当且仅当ba时，等号成立）若Rba,，则abba222（当且仅当ba时，等号成立）教学情境三：学以致用，我们可以两个重要不等式来解决什么样的问题呢？ab问题4：（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【板书】利用基本不等式求最值时，一定要注意三个限制条件（一正二定三相等）缺一不可。例1：函数1yxx，在下列哪个区间内有最小值，若有请求出；若没有，说明理由？（1）0x（2）0x（3）1x例2：已知,abR，1ab，（1）求ab的最大值；（2）求11ab的最小值；※分享收获:对于Ryx,，（1）若pxy（定值），则当且仅当ba时，yx有最小值p2；（2）若syx（定值），则当且仅当ba时，xy有最大值42s．习题设计1.求下列函数的最值（利用基本不等式求最值）（1）)0(1xxxy的最小值（难度★）（2）若2x，求21xxy的最小值（难度★★）2.已知直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？（利用基本不等式求最值；难度★★★）3.下列函数的最小值为22的是：（一正二定三相等；难度★★★★）A．2yxxB．2sin,0,sin2yxxxC．2,0xyyxyyxD．2lg,0,lgyxxx4.求下列代数式的最小值（一正二定三相等）（1）已知0,0yx，且182yx，求xy的最小值．（难度★★★★）（2）设Ryx,，且2yx，求yx33的最小值．（难度★★★★）5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？（利用基本不等式求最值；难度★★★★★）