基本不等式教案

课题:§3.4基本不等式2abab第1课时授课类型：新授课【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程；【教学难点】基本不等式2abab等号成立条件【板书设计】课题:§3.4基本不等式2abab（第1课时）1.课题导入基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。2．总结结论：3．思考证明：你能给出它的证明吗？[补充例题]3.随堂练习4.课时小结5、能力提高【教学过程】1.课题导入基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22ab。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为22ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab。2．总结结论：一般的，如果)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为222)(2baabba当22,()0,,()0,abababab时当时所以，0)(2ba，即.2)(22abba4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2abab特别的，如果a0,b0,我们用分别代替a、b，可得2abab，通常我们把上式写作：(a0,b0)2abab2）从不等式的性质推导基本不等式2abab用分析法证明：要证2abab(1)只要证a+b(2)要证（2），只要证a+b-0（3）要证（3），只要证（-）2（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。3）理解基本不等式2abab的几何意义探究：课本第110页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝ab.这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式2abab几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2ba为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.[补充例题]例1已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.分析：在运用定理：abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：∵x，y都是正数∴yx＞0，xy＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0(1)xyyxxyyx2＝2即xyyx≥2.(2)x＋y≥2xy＞0x2＋y2≥222yx＞0x3＋y3≥233yx＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·222yx·233yx＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.3.随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc分析：对于此类题目，选择定理：abba2（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a，b，c都是正数∴a＋b≥2ab＞0b＋c≥2bc＞0c＋a≥2ac＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（2ba），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤222ba，ab≤（2ba）2.