最优控制的发展概况

最优控制的发展概况摘要：主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。而最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。最优控制理论已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。同时本文也介绍了最优控制理论的新进展，即在线优化方法（局部参数最优化和整体最优化设计方法、预测控制中的滚动优化算法、稳态阶梯控制、系统优化和参数估计的集成研究方法）和智能优化方法（神经网络优化方法、遗传算法、模糊优化方法）。通过以上知识的讲解使初学者能够快速掌握最优控制问题。关键词：最优化；最优控制；遗传算法AbstractAccordingtotheintroductionofthebasicconceptoftheoptimalcontrolproblem,thepapershowsthattheoptimalcontrolisanapplicationoftheoptimalmethods.Usuallyoptimizationismadeupoftheoptimaldesign,theoptimalprogram,theoptimalmanagementandtheoptimalcontrol.Theoptimalcontroltheoryisadisciplinewhichresearchesandsolvesanypossiblecontrolmethodstofindthebestone.Themainmethodstosolvetheoptimalcontrolproblemsincludetheclassicalvariationalmethod,themaximumprincipleandthedynamicplanning.Theoptimalcontroltheoryhasbeenappliedtocolligatinganddesigningthespeedcontrolsystem,themostsavingfuelcontrolsystem,theminimumcostcontrolsystem,linearregulatorsandsoon.Atthesametime,thispaperalsointroducesthenewdevelopments,suchasonlineoptimizationmethod(localparameteroptimizationandoveralloptimizationdesignmethods,therollingoptimizationalgorithminthepredictivecontrolsystem,steady-stateladdercontrol,systemoptimizationandparameterestimationofintegratedresearchmethods)andintelligentoptimizationmethods(neuralnetworkoptimizationmethods,geneticalgorithms,fuzzyoptimizationmethods).Ihopetheaboveknowledgecanhelpthebeginnerslearnbetterabouttheoptimalcontrolproblems.Keywords:optimization;optimalcontrol;geneticalgorithm1引言最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优[1]。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”[2]和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”[3]，到了60年代，卡尔曼（Kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念[4,5]，建立了最优估计理论。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）[6]。最优控制理论的实现离不开最优化技术。最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解[7]。2最优控制问题所谓最优控制问题，就是指在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律，使该系统能在规定的性能指标下具有最优值。也就是说最优控制就是要寻找容许的控制作用（规律）使动态系统（受控系统）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）达到最大（小）值。最优控制问题的示意图如图所示。其本质乃是一变分学问题。经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题。为满足工程实践的需要，20世纪50年代中期，出现了现代变分理论。最常用的方法就是极大值原理和动态规划。最优控制在被控对象参数已知的情况下，已成为设计复杂系统的有效方法之一。2.1最优控制问题的性能指标在状态空间中要使系统的状态由初始状态tfxtx0，可以用不同的控制规律来实现。为了衡量控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需要用一个性能指标来判断。性能指标的内容、形式取决于最优控制所完成的任务。不同最优控制问题就应有不同的性能指标。同一最优控制问题，其性能指标也可能因设计者着眼点而异。①综合性或波尔扎（Bolza）型性能指标tftdtttutxLtftfxJ0,,),()(L——标量函数：动态性能指标——标量函数：终端性能指标J——标量函数，对每一个控制函数tu都有一个对应值，u——控制函数整体②积分变量或拉格朗日（Lagrange）型性能指标tftdtttutxLuJ0,,强调系统的过程要求。③终端型或麦耶尔（Mager）型性能指标tftfxuJ,以上三种性能指标，通过一些简单的数学处理，可以相互转化。在特殊情况下，可采用如下的二次型性能指标tftTTTdttutRtutxtQtxtfFxtfxuJ02121F—终端加权矩阵Q(t)—状态加权矩阵R(t)—控制加权矩阵2.2最优控制问题的提法[8]所谓最优控制的提法，就是将通常的最优控制问题抽象成一个数学问题，并用数学语言严格的表示出来。⒈给定系统的状态方程ttutxftx,,⒉给定初始条件和终端条件初始状态为：x(t0)=x0终端状态x(tf)可用如下约束条件表示N1[x(tf)，tf]=0或N2[x(tf)，tf]≤0⒊给定性能指标（目标函数）tft0t]dtu(t),L[x(t),tf]Ψ[x(tf),)]J[u(确定最优控制向量)(tu，使系统从x(t0)→x(tf)，并使性能指标])(J[u具有极大（小）值。2.3最优控制问题的分类①按状态方程分类：连续最优化系统、离散最优化系统②按控制作用实现方法分类：开环最优控制系统、闭环最优控制系统③按性能指标分类：最小时间控制问题最少燃料控制问题最少燃料控制问题线性二次型性能指标最优控制问题非线性性能指标最优控制问题④按终端条件分类：固定终端最优控制问题自由终端（可变）最优控制问题终端时间固定最优控制问题终端时间可变最优控制问题⑤按应用领域来分：终端控制问题、调节器问题、跟踪问题、伺服机构问题、效果研究问题、最小时间问题、最少燃料问题2.4最优控制问题的解决方法①古典变分法研究对泛函求极值的一种数学方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。②极大值原理极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。极大值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。③动态规划动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。2.5最优控制理论应用领域最优控制理论已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。3最优控制理论新的进展1.在线优化方法基于对象数学模型的静态优化方法，是理想化的方法。因为尽管工业过程被设计得按一定的正常工况连续运行，但由于存在外部环境变动等各种干扰因素，原来的设计就未必是最优的。鉴于这种情况在线优化方法得到了发展，其中常见的方法有：⑴局部参数最优化和整体最优化设计方法局部参数最优化方法的基本思想是按照参考模型和被控过程输出之差来调整控制器可调参数，使输出误差平方的积分达到最小。这样可使被控过程和参考模型尽快保持精确一致。此外，静态最优与动态最优相结合可将局部最优变为整体最优。⑵预测控制中的滚动优化算法预测控制，又称基于模型的控制（Model-basedControl），是70年代后期兴起的一种新型优化控制算法。但它与通常的离散最优控制算法不同，不是采用一个不变的全局优化目标，而是采用滚动式的有限时域优化策略。这意味着优化过程不是一次离线进行，而是反复在线进行的。这种有限化目标的局部性使其在理想情况下只能得到全局的次优解，但其滚动实施，却能顾及由于模型失配、时变、干扰等引起的不确定性，及时进行弥补，始终把新的优化建立在实际的基础之上，使控制保持实际上的最优。这种启发式的滚动优化策略，兼顾了对未来充分长时间内的理想优化和实际存在的不确定性的影响。在复杂的工业环境中，这比建立在理想条件下的最优控制更加实际有效。预测控制的优化模式具有鲜明的特点：它的离散形式的有限优化目标及滚动推进的实施过程，使得在控制的全过程中实现动态优化，而在控制的每一步实现静态参数优化。用这种思路，可以处理更复杂的情况，例如有约束、多目标、非线性乃至非参数等。吸取规划中的分层思想，还可把目标按其重要性及类型分层，实施不同层次的优化。可把大系统控制中分层决策的思想和人工智能方法引入预测控制，形成多层智能预测控制的模式。这种多层智能预测控制方法的，将克服单一模型的预测控制算法的不足，是当前研究的重要方向之一。⑶稳态阶梯控制由于工业过程较精确的数学模型不易求得，而且工业过程往往呈非线性及慢时变性。因此，优化算法中采用数学模型求得的解是开环优化解。在大工业过程在线稳态控制的设计阶段，开环优化解可以用来决定最有工作点。但在实际使用上，这个解未必能使工业过程处于最优工况，相反还会违反约束。他们提出的全新思想是:从实际过程提取关联变量的稳态信息，并反馈至协调决策单元，并用它修正基于模型求出的最优解，使之接近真实最优解。这就是我们实际应用中经常遇到的开环控制和闭环控制。⑷系统优化和参数估计的集成研究方法稳态递阶控制的难点是，实际过程的输入输出特性是未知的。波兰学者提出的反馈校正机制，得到的只能是一个次优解。但其主要缺点在于一般很难准确估计次优解偏离最优解的程度，而且次优解的次优程度往往依赖于初始点的选取。一个自