河南中考数学主观性试题分析与指导

1河南省中考数学主观性试题分析与指导（1）―――图形证明题与计算题国家数学课程标准明确指出：合情推理与演绎推理并重，重视学生在实践操作的基础上，培养和考察学生观察能力与猜想能力，各级各类初中数学考试，证明题的难度等于或小于证明课本中定理的难度.这与传统大纲下的命题从本质上发生了改变，即改变传统考试中利用数学定理、公理等进行复杂证明，为标准考试中创设不同情境进一步证明与数学定理等相关的结论或利用结论进行不超过三步的基本推理.从近几年中考试题上看，淡化了数学证明的技巧考试，强化了学生的技能考察，降低了繁琐的格式化要求，突出了学生的动手操作和对图形的辨析能力，人性化思想体现明显.其次，能充分体现几何的核心知识与技能，如：三角形全等的判断与证明，特殊四边形的判断与证明，利用直角三角形和相似三角形进行计算，圆内相关角与弧的转化证明与计算等.不在面面具到，不在单一强调逻辑推理，下面根据这几年的中考试题加以分析说明.一、试题再现与分析思考：1、（2008）“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:“如图①已知,在△ABC中,,P是△ABC内任意一点,将AP绕点A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连结BQ、CP,则BQ=CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP.之后，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其它条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图②给出证明.分析与思考：（1）考察知识与技能：考察知识包括图形旋转的性质（全等），三角形全等的判定与性质等；考察的技能有会利用SAS证明三角形全等,在条件等同下，不同情境方法的迁移能力.（2）学生疑惑点与丢分点：图①清晰易于发现规律与方法很快证明结论，但学生受思维的影响没有按图①证明结论找到解决问题的途径，或对题目中的提示“证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP”理解不够，只重视对图②的分析，因其交点多形状复杂而无从入手，方法迁移的思想欠缺，所以路不清而丢分失分就不可避免.（3）解题方法指导：由图①排列条件AB=AC，∠QAP=∠BAC,（得∠QAB=∠PAC）,AQ=AP,可得△ABQ≌△ACP，证得BQ=CP.在条件不变的情况下，方法迁移即仍需在图②中证明上述三个结论的成立得△ABQ≌△ACP，证BQ=CP.2、（2008）如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(10,0),点B的坐标为(8,0),点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形.求点C的坐标.分析与思考：（1）考察知识与技能：考察的知识有坐标的几何意义，平行四边形的性质，勾股定理，垂径定理等；考察的技能有“见弧添半径，计算问题构造直角三角形”，以及求点的坐标作x轴的垂线转化为求相关线段的长度.（2）学生疑惑点与丢分点：加半径是计算有关弧（圆）问题的常用方法，在图形中计算相关量的大小构造直角三角形是本质技能，学生没能很好理解掌握，加不上辅助线也就找不到解决问题的思路是疑难失分的最要原因.根据点的坐标的几何意义在图形背景下求点的坐标通过作x轴的垂线把问└EP┐2题线段化应用不熟练也是一个不可忽视的原因.（3）解题方法指导：如图添加辅助线（连结半径MC是因为条件中有半圆，作ME⊥CD是因为利用垂径定理构造直角三角形的需要,作CP⊥x轴是因为求点的坐标的需要），由题意可知：CE=42121OBCD,MC521OA,则ME=3.进而可得OP=OM-PM=5-4=1,CP=ME=3,所以有点C的坐标为（1,3）.3、（2009）如图所示，∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.分析与思考：（1）考察知识与技能：考察的知识有全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；考察的技能有利用SAS证明三角形全等，会利用等腰三角形的“三线合一”性质解决问题，以及学生对图形的直观判断能力.（2）学生疑惑点与丢分点：疑惑点是能判断垂直关系但不知如何证明，丢分点一是不判断位置关系或直讲垂直而不说平分,二是证明垂直不能直接借助等腰三角形再一次证明三角形全等书写不规范而丢分.（3）解题方法指导：根据条件可得△ABC≌△BAD,进而得∠OAB=∠OBA,即△OAB为等腰三角形，因为E为边AB的中点，即OE为底边上的中线，由“三线合一”知OE⊥AB，固OE垂直平分AB.4、（2009）如图，在RtABC中，∠ACB＝900，∠B=600,BC=2.点O是AC的中点，过点O的直线L从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE//AB交直线L于点E，设直线L的旋转角为α.(1)①当α＝度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为;②当α＝度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为;(2)当α＝900时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.分析与思考：（1）考察知识与技能：考察的知识有三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形边角关系，等腰梯形的性质，菱形判定定理；考察的技能有操作画图能力，观察猜想能力，简单的计算证明能力.（2）学生疑惑点与丢分点：学生的疑惑点是一图多结论图形不符合条件需要进而视觉与思维产生矛盾或根据题意需自己画图不规范不熟练，就图论题直观效果不好产生带来解题困难；丢分点一是操作画图不当思维不顺丢分，二是图形直观分析能力不够转化知识不顺丢分.（3）解题方法指导：由条件可直接判断△ADO≌△CEO,有结论OE=OD.第一问中的（1）若为等腰梯形有∠ECB=∠B=600,ED=CB=2,进而得α＝300，AD=OD=OE=1;第一问中的（2）ABDCOE第3题ABCODELα.OABC3若为直角梯形有∠ECB＝900，AO=3,进而得α＝600，AD=1.5.第二问中当α＝900时，易证四边形EDBC为平行四边形，再证D为AB的中点有BD=BC=2,可得四边形EDBC是否为菱形.5、（2010）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：△AB’O≌△CDO．分析与思考：（1）考察知识与技能：考察的知识有等腰三角形的判定，全等三角形的判定，轴对称图形的性质；考察的技能有图形的直观判断能力，利用AAS判定三角形全等的技能.（2）学生疑惑点与丢分点：学生的疑惑点是对称图形转化不出等量的边角关系；丢分点判断等腰三角形不全或重复或漏或证三角形全等时不熟练.（3）解题方法指导：第一问从图中可直接看出有三个等腰三角形；第二问由条件“平行四边形”可得∠ABC=∠ADC,AB=CD.由条件“△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称”可得∠ABC=∠AB/C,AB=AB/.所以有∠ADC=∠AB/C,CD=AB/，又∠AOB/=∠DOC,结论可证得.6、(2010)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=24，∠C=45°，点P是BC上一动点，设PB的长为x．（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．分析与思考：（1）考察知识与技能：考察的知识有直角三角形的性质，直角梯形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定等定理；考察的技能有根据题意操作画图能力，直观判断猜想能力，梯形计算问题直角三角形化能力，简单的计算与证明能力.（2）学生疑惑点与丢分点：学生的疑惑点包括对图形的认识，即受线段DE的影响考虑问题不全面而丢分（第1、2问只填一个结果），简化图形操作画图能力不强直观分析问题思路不明进而不会而丢分（不会在演草纸上画出需要的图形简洁明了），不能利用条件首先在梯形中求出相关的量程序不对而丢分（梯形计算转化直角三角形不熟练）.（3）解题方法指导：根据条件先在梯形ABCD中计算相关量得DN=AM=4,BM=3,CN=4.若为直角梯形有∠AME=900或∠DNE=900.所以当x＝3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；若为平行四边形有AP∥DE或AE∥DP,画出图形易判断x=1或11时，点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形.构成菱形的前提是该四边形为平行四边形，即只需证明当x＝1或11时是否存在一组邻边相等即可.由上图可知DE=25≠AD,所以当x=1时以P、A、D、E为顶点的四边形不能构成菱形;同理由上图可得AE=5=AD,所以当x=11时以P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形.OB'ABCD┐PEABCDMN┐47、（2011）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,延长CB到点E，使BE=AD,连接DE交AB于点M.(1)求证：△AMD≌△BME;(2)若N是CD的中点，且MN=5,BE=2,求BC的长.分析与思考：（1）考察知识与技能：考察的知识有梯形的定义，全等三角形的判定定理，三角形中位线的判定与性质定理；考察的技能有利用AAS或ASA证明三角形全等，利用三角形的中位线求线段的长度.（2）学生疑惑点与丢分点：本题难度不大学生容易理解，主要丢分点有对三角形中位线的证明书写不够清楚，步骤不规范.（3）解题方法指导：由条件AD∥BC得∠A=∠ABE,∠ADM=∠BEM,又BE=AD，固△AMD≌△BME.进而得AM=MB,又N是CD的中点，所以有MN为△DEC的中位线，即MN=)(2121BCEBEC,代入MN=5,BE=2,得BC＝8.8、（2011）如图，在Rt△ABC中，∠B=900,BC=53,∠C=300.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.(1)求证：AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由。（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.分析与思考：（1）考察知识与技能：考察的知识有直角三角形的边角关系勾股定理，平行四边形的判定，菱形的性质与判定；考察的技能有根据题意猜想画图能力，简单的计算与证明能力等.（2）学生疑惑点与丢分点：学生的疑惑点是一个图形要解决三个问题，且其形状与题目要求不统一而不会准确画图造成思维断路不会而丢分；再一是在计算相关量的大小或确定相关量的关系列方程时，不能准确转化到直角三角形中或相似三角形中思路不顺而丢分；三是书写过程不顺畅缺少必要的步骤而丢分.（3）解题方法指导：（1）由题意可知CD=2AE,在Rt△CDF中，∠C=300，则有CD=2DF,可证AE=DF.（2）由（1）可得四边形AEFD为平行四边形，若四边形AEFD能够成为菱形，则有AD=DF,又CD=2DF,固CD=2AD,计算得CD=320,则时AE=3105(AB)，所以四边形AEFD能够成为菱形，此时有t＝310.（3）△DEF为直角三角形可分三种情况：当∠EFD=900时，点E运动到点B，此时点D恰好运动到点A，△DEF为存在；当∠EDF=900时，必有DE∥BC,此时有AE=DF=EB=2.5,固当t＝2.5时，△DEF为直角三角形；当∠DEF=900时，必有CD=2DF=2AE=4AD,解得CD=8,故当t=8÷2=4(秒)时△DEF为直角三角形.9、（2012）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=600,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N,连结MD、AN.DAMCBNEABCEDF┐┐5（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②