概率论与数理统计总复习计算题

概率论与数理统计计算题Fromthebeginningtotheend,juststickatit!Atoz微博：习题一1．(15分)设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为1(),02,02(,)80,xyxyxy其它（1）求XY与的边缘密度函数(),()XYxy；（2）判断XY与是否独立？为什么？（3）求ZXY的密度函数()Zz。（1）11(1),[0,2](1),[0,2](),()440,[0,2]0,[0,2]XYxxyyxyxy（2）不独立（3）21,0281()(4),2480,Zzzzzzz其它三、应用题与证明题(28分)1．(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。解：（1）设iA表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i件次品”，（i=0,1,2,3）设B表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；3211231113333333123313131166666661()()(|)04niiiCCCCCCCCCPBPAPBACCCCCCC概率论与数理统计计算题Fromthebeginningtotheend,juststickatit!Atoz微博：（2）22()(|)0.6()PABPABPB3．(8分)设0()1PA，证明：AB与相互独立(|)(|)PBAPBA。证明：因为(|)(|)PBAPBA()()()()PABPAPABPA()[1()][()()]()PABPAPBPABPA()()()PABPBPAAB与相互独立附表：0.950.9750.950.951.65,1.96,(35)1.6896,(36)1.6883,uutt0.9750.975(35)2.0301,(36)2.0281,tt习题二二、（12分）设连续型随机变量X的密度为：,0()0,0xcexxx（1）求常数c；（2）求分布函数()Fx；（3）求21YX的密度()Yy解：（1）0()11xxdxcedxc（2）00,0()()1,0xxtxxFxtdtedtex（3）Y的分布函数1(){21}{}2YyFyPXyPX概率论与数理统计计算题Fromthebeginningtotheend,juststickatit!Atoz微博：121,1()20,1yYeyyy三、（15分）设二维连续型随机变量(,)XY的联合密度为,01,0(,)0,cxyxxy其它（1）求常数c；（2）求XY与的边缘密度(),()XYxy；（3）问XY与是否独立？为什么？（4）求ZXY的密度()Zz；（5）求(23)DXY。解：（1）1001(,)2xcxydxdycdydx，2c（2）022,01()(,)0,xXdyxxxxydy其它122(1),01()(,)0,yYdyyyyxydx其它（3）XY与不独立；（4）/21/22,01()(,)22,120,zzXYzdyzzzxzxdxdyzz其它（5）1122300212,232EXxdxEXxdx112200112(1),2(1)36EYyydyEYyydx22121111(),()23186318DXDY10012,4xEXYxydydx概率论与数理统计计算题Fromthebeginningtotheend,juststickatit!Atoz微博：(,)43336XYEXYEXEY7(23)492cov(2,3)18DXYDXDYXY五、（10分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。解：设1A={某机床为车床}，19()15PA；2A={某机床为钻床}，21()5PA；3A={某机床为磨床}，32()15PA；4A={某机床为刨床}，41()15PA；B={需要修理}，11(|)7PBA，22(|)7PBA，33(|)7PBA，41(|)7PBA则4122()()(|)105iiiPBPAPBA111()(|)9(|)()22PAPBAPABPB。习题三二、计算题（34分）1、（18分）设连续型随机变量)(YX，的密度函数为,01,01(,)0,xyxyxy其他（1）求边缘密度函数)(),(yxYX；（2）判断X与Y的独立性；（3）计算cov(,)XY；（3）求),max(YXZ的密度函数)(zZ概率论与数理统计计算题Fromthebeginningtotheend,juststickatit!Atoz微博：（1）其他,010,2/1)()(xxxxYX（2）不独立。（3）其他,010,3)(2zzzZ2、（16分）设随机变量X与Y相互独立，且同分布于)10)(,1(ppB。令1,0XYZXY若为偶数，若为奇数。（1）求Z的分布律；（2）求)(ZX，的联合分布律；（3）问p取何值时X与Z独立？为什么？解（1）求Z的分布律；pqYXPYXPZP2)0,1()1,0()0(22)1,1()0,0()1(qpYXPYXPZP（2）)(ZX，的联合分布律：ZX1001pq2qpq2pqppq222qp（3）当5.0p时，X与Z独立。三、应用题（24分）1、（12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有概率论与数理统计计算题Fromthebeginningtotheend,juststickatit!Atoz微博：两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。解：设X表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则X～)2.0,5(B，分布律为：5,...,1,0,8.02.0)(55kCkXPkkk设Y（万元）表示一周5个工作日的利润，根据题意，Y的分布律057.0)3(,3,2205.0)2(,2,0410.0)1(,1,5328.0)0(,0,10)(XPXXPXXPXXPXXfY则216.5EY（万元）。2、（12分）将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。解：设321,,AAA分别表示输入AAAA，BBBB，CCCC的事件，B~表示输出为ABCA的随机事件。由贝叶斯公式得：31111)~()()~()()~(iiiABPAPABPAPBAP1.0)(,4.0)(,5.0)(321APAPAP0064.08.01.01.08.0)~(1ABP0008.01.01.08.01.0)~(2ABP0008.01.08.01.01.0)~(3ABP10.50.00648()0.50.00640.00080.40.00080.19PAB