第10章--方差分析

9-1统计学STATISTICS(第四版)第10章方差分析作者：中国人民大学统计学院贾俊平9-2统计学STATISTICS(第四版)统计应用SARS病毒灭活疫苗临床试验2004年12月5日，科技部、卫生部、国家食品药品监督管理局共同宣布：中国自主研制的SARS病毒灭活疫苗Ⅰ期临床试验圆满结束。经对36人的试验结果表明，36位受试者均未出现异常反应，其中24位接种疫苗的受试者全部产生了抗体，这表明我国自主研制的疫苗是安全有效的2003年SARS疫情发生后，SARS疫苗的研制确定为重要任务之一。科技部积极组织协调，形成了由北京科兴生物制品有限公司、中国疾病预防控制中心病毒病预防控制所和中国医学科学院实验动物研究所共同组成的疫苗研制项目课题组，研究人员包括北京科兴生物制品有限公司、中国医学科学院实验动物研究所、中国疾病预防控制中心病毒病预防控制所、中日友好医院等部门在内的100多位科研人员和医生9-3统计学STATISTICS(第四版)统计应用SARS病毒灭活疫苗临床试验2004年1月19日，SARS病毒灭活疫苗获准进入Ⅰ期临床研究，本次试验共选择36名年龄在21岁到40岁的健康人作为志愿者，男女各18人，在中日友好医院接受了SARS疫苗临床研究。免疫接种分为16个单位和32个单位两种剂量，并设安慰剂对照组，各12人。这次SARS疫苗临床研究方案完全按照国际规范，采用知情同意、伦理审查、随机双盲等规范化操作本次试验采用随机双盲的实验设计。受试者和参加临床试验或临床评价的研究人员或疫苗研制方的工作人员均不知道也不能识别受试者接受了何种注射(疫苗或安慰剂)。在试验结束、完成数据清理、数据已达到可以接受水平，可由指定人员揭盲，打开密封的设盲信封，从而知道哪个受试者接种的是试验疫苗，哪个受试者接种的是安慰剂9-4统计学STATISTICS(第四版)10.1方差分析引论10.2单因素方差分析第9章方差分析与试验设计9-5统计学STATISTICS(第四版)学习目标1.解释方差分析的概念2.解释方差分析的基本思想和原理3.掌握单因素方差分析的方法及应用9-6统计学STATISTICS(第四版)9.1方差分析引论10.1.1方差分析及其有关术语10.1.2方差分析的基本思想和原理10.1.3方差分析的基本假定10.1.4问题的一般提法9-7统计学STATISTICS(第四版)为什么不做两两比较？1.设有四个总体的均值分别为m1、m2、m3、m4，要检验四个总体的均值是否相等，每次检验两个的作法共需要进行6次不同的检验，每次检验犯第一类错误的概率为，连续作6次检验犯第Ⅰ类错误的概率增加到1-(1-)6=0.265，大于0.05。相应的置信水平会降低到0.956=0.7352.方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累积的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设9-8统计学STATISTICS(第四版)方差分析及其有关术语9-9统计学STATISTICS(第四版)什么是方差分析(ANOVA)?(analysisofvariance)1.检验多个总体均值是否相等通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等2.研究分类型自变量对数值型因变量的影响一个或多个分类型自变量两个或多个(k个)处理水平或分类一个数值型因变量3.有单因素方差分析和双因素方差分析单因素方差分析：涉及一个分类的自变量双因素方差分析：涉及两个分类的自变量9-10统计学STATISTICS(第四版)什么是方差分析?(例题分析)消费者对四个行业的投诉次数行业观测值零售业旅游业航空公司家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在4个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表9-11统计学STATISTICS(第四版)什么是方差分析?(例题分析)1.分析4个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响2.作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等3.若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异9-12统计学STATISTICS(第四版)方差分析中的有关术语1.因素或因子(factor)所要检验的对象分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因子2.水平或处理(treatment)因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业3.观察值在每个因素水平下得到的样本数据每个行业被投诉的次数9-13统计学STATISTICS(第四版)方差分析中的有关术语1.试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素4水平的试验2.总体因素的每一个水平可以看作是一个总体零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个总体3.样本数据被投诉次数可以看作是从这4个总体中抽取的样本数据9-14统计学STATISTICS(第四版)方差分析的基本思想和原理9-15统计学STATISTICS(第四版)方差分析的基本思想和原理(图形分析—散点图)不同行业被投诉次数的散点图020406080012345行业被投诉次数零售业旅游业航空公司家电制造9-16统计学STATISTICS(第四版)1.从散点图上可以看出不同行业被投诉的次数有明显差异同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低2.行业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近方差分析的基本思想和原理(图形分析)9-17统计学STATISTICS(第四版)1.散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异这种差异可能是由于抽样的随机性造成的2.需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源方差分析的基本思想和原理9-18统计学STATISTICS(第四版)方差分析的基本思想和原理(两类误差)1.随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数之间的差异这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差2.系统误差因素的不同水平(不同总体)之间观察值的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差9-19统计学STATISTICS(第四版)方差分析的基本思想和原理(误差平方和—SS)1.数据的误差用平方和(sumofsquares)表示2.组内平方和(withingroups)因素的同一水平下数据误差的平方和比如，零售业被投诉次数的误差平方和只包含随机误差3.组间平方和(betweengroups)因素的不同水平之间数据误差的平方和比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和既包括随机误差，也包括系统误差9-20统计学STATISTICS(第四版)方差分析的基本思想和原理(均方—MS)1.平方和除以相应的自由度2.若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应该很接近，它们的比值就会接近13.若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它们之间的比值就会大于14.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响9-21统计学STATISTICS(第四版)方差分析的基本假定9-22统计学STATISTICS(第四版)方差分析的基本假定1.每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布2.各个总体的方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，4个行业被投诉次数的方差都相等3.观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立9-23统计学STATISTICS(第四版)方差分析中的基本假定1.在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的4个正态总体的均值是否相等2.如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本的均值也会很接近4个样本的均值越接近，推断4个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分9-24统计学STATISTICS(第四版)方差分析中的基本假定如果原假设成立，即H0：m1=m2=m3=m44个行业被投诉次数的均值都相等意味着每个样本都来自均值为m、方差为2的同一正态总体Xf(X)m1m2m3m49-25统计学STATISTICS(第四版)方差分析中的基本假定若备择假设成立，即H1：mi(i=1,2,3,4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的4个样本分别来自均值不同的4个正态总体Xf(X)m3m1m2m49-26统计学STATISTICS(第四版)问题的一般提法9-27统计学STATISTICS(第四版)问题的一般提法1.设因素有k个水平，每个水平的均值分别用m1,m2,,mk表示2.要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设：H0：m1m2…mkH1：m1,m2,，mk不全相等3.设m1为零售业被投诉次数的均值，m2为旅游业被投诉次数的均值，m3为航空公司被投诉次数的均值，m4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为H0：m1m2m3m4H1：m1,m2,m3,m4不全相等9-28统计学STATISTICS(第四版)10.2单因素方差分析10.2.1数据结构10.2.2分析步骤9-29统计学STATISTICS(第四版)单因素方差分析的数据结构(one-wayanalysisofvariance)观察值(j)因素(A)i水平A1水平A2…水平Ak12::nx11x21…xk1x12x22…xk2::::::::x1nx2n…xkn9-30统计学STATISTICS(第四版)分析步骤•提出假设•构造检验统计量•统计决策9-31统计学STATISTICS(第四版)提出假设1.一般提法H0：m1=m2=…=mk•自变量对因变量没有显著影响H1：m1，m2，…，mk不全相等•自变量对因变量有显著影响2.注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等9-32统计学STATISTICS(第四版)构造检验的统计量构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值误差平方和均方(MS)9-33统计学STATISTICS(第四版)构造检验的统计量(计算水平的均值)1.假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数2.计算公式为),,2,1(1kinxxinjijii式中：ni为第i个总体的样本观察值个数xij为第i个总体的第j个观察值9-34统计学STATISTICS(第四版)构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值)1.全部观察值的总和除以观察值的总个数2.计算公式为kkiiikinjijnnnnnxnnxxi21111式中：9-35统计学STATISTICS(第四版)构造检验的统计量(例题分析)9-36统计学STATISTICS(第四版)