指数函数及其性质-ppt

指数函数及其性质引入问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？问题分裂次数细胞总数1次2次3次4次x次……xy2个2个4个8个162x21222324研究引入问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？问题截取次数木棰剩余1次2次3次4次x次尺21尺41尺81尺161尺x)21(xy)21(研究。域是是自变量，函数的定义函数，其中叫做指数一般地，函数Rxaaayx)1,0(:定义:以上两个函数有何设问1共同特征?;)1(均为幂的形式;)2(底数是一个正的常数.x)3(在指数位置自变量xy)21(xy2提炼思考:为什么规定底数a＞０且a≠１呢？。域是是自变量，函数的定义函数，其中叫做指数一般地，函数Rxaaayx)1,0(范围的说明：关于底数a(1)0a时(2)0a时(3)1a时0xa当x时，无意义！0xa当x时，=0！!x对于x的某些数值,可使a无意义1(2)!2xyx如在处无意义1!x对于xR,都有a,!是一个常量没有研究的必要认识0,1aa8xy(21)xyaxy（口答）判断下列函数是不是指数函数，为什么？√√例题③()2yx(4)xy1225xyxyx10xy①②12a1a且④⑤⑥⑦⑧√在同一直角坐标系画出，的图象，并思考：两个函数的图象有什么关系？2xy12xy设问2：得到函数的图象一般用什么方法？列表、描点、连线作图x2xy…-3-2-1.5-1-0.500.511.523…………-3-2-1.5-1-0.500.511.523………1()2xyx0.130.250.350.50.7111.422.848842.821.410.710.50.350.250.138765432-6-4-22468765432-6-4-22468765432-6-4-22461xy2xy2187654321-6-4-224687654321-6-4-224687654321-6-4-2246认识指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质01a1a（1）定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1）即x=0时，y=1（4）在R上是减函数（4）在R上是增函数yx(0,1)y=10y=ax(0a1)yx0y=1(0,1)y=ax(a1)归纳数学应用：虽然指数函数y＝ax的定义域是R，但是在求与指数函数有关的复合函数的定义域时，必须注意以前我们求函数定义域时的一些限制条件：例2．求下列函数的定义域，并探求其值域．(1)y＝(2)y＝1212x112x说明：(1)分式的分母不能为0；(2)偶次根式的被开方数大于或等于0；(3)0的0次幂没有意义；(4)在实际问题中必须使实际问题有意义．数学应用：解由f(x)＞g(x)，得例3．函数f(x)＝a，g(x)＝a(a＞0且a≠1)，若f(x)＞g(x)，x2－3x＋1x2＋2x－4求x的取值范围．a＞ax2－3x＋1x2＋2x－4(1)当a＞1时，x2－3x＋1＞x2＋2x－4，解得x＜1(2)当0＜a＜1时，x2－3x＋1＜x2＋2x－4，解得x＞1若a＞1，则x的取值范围为{x|x＜1}；综上所述：若0＜a＜1，则x的取值范围为{x|x＞1}．数学应用：若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则它的单调性为．∵函数在R上是增函数，而指数2.53．xy7.135.27.17.1（1）应用＜解：∴5.27.137.154.543.532.521.510.5-0.5-2-1123456fx=1.7x应用2.01.08.08.0（2）1.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-1.5-1-0.50.51fx=0.8x∵函数在R上是减函数，而指数-0.1-0.2xy8.0解：∴2.01.08.08.0＜应用3.232.82.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-0.50.511.522.533.54fx=0.9x3.232.82.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-2-1.5-1-0.50.511.522.5fx=1.7x1.33.09.07.1（3）解：根据指数函数的性质，得：17.17.103.019.09.001.3且1.33.09.07.1从而有比较下列各题中两个值的大小：2.530.10.21.61.60.33.1130.20.711.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,32.530.10.21.61.60.33.1130.20.711.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,32.530.10.21.61.60.33.1130.20.711.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,3应用方法总结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比较.1.下列函数中一定是指数函数的是（）2.已知则的大小关系是____________________.12.xyA3.xyB.2xCyxyD23.,2.1,8.0,8.08.09.07.0cbacba,,练习指数函数性质的运用（一）同底数，不同指数比较大小例1：比较下列各题中两个数的大小（1）30.8，30.7;（2）0.75-0.1，0.750.1(1)解：因为y=3x是R上的增函数，0.80.7，所以30.830.7(2)解：因为y=0.75x是R上的减函数，-0.10.1，所以0.75-0.10.750.1例2：(1)求使不等式4x32成立的x的集合；(2)已知，求数的取值范围。254aaa(1)若，则的大小关系是_____0ba1,2,2ba(2)解不等式：2)21(13x指数函数性质的运用（二）不同底数，同指数比较大小例3：比较下列各题中两个数的大小（1）32，52;（2）3-2，5-2（3）53.1，33.1指数函数性质的运用（三）不同底数，不同指数比较大小例4：比较下列各题中两个数的大小（1）1.80.6____0.81（2）（3）0.5-0.7____2-0.653322,)31(练一练如图所示，是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc提示：法一：在①②中，底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图像越靠近x轴，故有ba.在③④中底数大于1，底数越大图像越靠近y轴，故有dc.法二：由直线x＝1和图像的交点的位置关系来判断a，b，c，d的大小关系．设直线x＝1与①②③④的图像分别交于点A，B，C，D，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，观察图像可得cd1ab.答案：B2．指数函数的对称问题函数y＝ax(a0，且a≠1)与y＝(1a)x的图像关于轴对称；与y＝－ax的图像关于轴对称．yx探究点1与指数函数有关的图象1.指数函数的图像和性质受底数a的影响，由指数函数y＝ax的图像与直线x＝1相交于(1，a)可知：(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大到小；(2)在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大到小．2．作与指数函数有关的图像问题，要抓住指数函数的图像作平移变换或对称变换即可，值得注意的是作图前要探究函数的定义域和值域，掌握图像的大致趋势．利用函数f(x)＝(12)x的图像，作出下列函数的图像．(1)f(x－1)；(2)f(x＋1)；(3)－f(x)；(4)f(－x)；(5)f(x)－1；(6)f(|x|)．[提示]首先分析出每一个函数与已知函数图像的关系，再利用相应的函数图像的变换作出各自图像．[解]画出函数y＝2|x＋1|的图像，并指出其单调区间．解：法一：由函数解析式可得y＝2|x＋1|＝12x＋1x－1，2x＋1x≥－1.其图像分成两部分，一部分是先将y1＝(12)x＋1(x－1)的图像作出，而它的图像可以看作将y＝(12)x的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到，另一部分是先将y＝2x＋1(x≥－1)的图像作出，而它的图像可以看作将y＝2x的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到，如图所示．法二：先作出y＝2x(x≥0)的图像，再作出关于y轴对称的图像即y＝2|x|的图像，再将y＝2|x|的图像左移一个单位即可得到y＝2|x＋1|的图像，如图所示．探究点2指数型函数的单调性1.关于指数型函数y＝af(x)(a0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．2．y＝f(u)，u＝g(x)，列函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减减减增3．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．已知函数y＝(12)x2－6x＋17，(1)求函数的定义域及值域；(2)确定函数的单调区间．[提示]求值域时，要先求x2－6x＋17的值域，再利用指数函数的图像进行求解．确定单调区间可先分解成y＝(12)u，u＝x2－6x＋17，分别研究这两个函数的单调性，再按照复合函数的单调性写出函数的单调区间．[解](1)设μ＝x2－6x＋17，由于函数y＝(12)μ及μ＝x2－6x＋17的定义域为(－∞，＋∞)，故函数y＝(12)x2－6x＋17的定义域为R.因为μ＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，所以(12)μ≤(12)8，又(12)μ0，故函数的值域为(0，1256]．(2)函数μ＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意x1、x2∈[3，＋∞)且x1x2，有μ1μ2，从而(12)μ1(12)μ2，即y1y2，所以函数y＝(12)x2－6x＋17在[3，＋∞)上是减函数，同理可知y＝(12)x2－6x＋17在(－∞，3)上是增函数．在本例中，把“12”改为“a”，a0且a≠1，讨论f(x)＝ax2－6x＋17的单调性．解：设u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8，则当x≥3时，u是增函数，当x3时，u是减函数．又因为当a1时，y＝au是增函数，当0a1时，y＝au是减函数，所以当a1时，原函数f(x)＝ax2－6x＋17在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．当0a1时，原函数f(x)＝ax2－6x＋17在(－∞，3)上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数．情境问题：对于函数y＝ax(a＞0且a≠1)，图象恒过定点(0，1)．若a＞1，则当x＞0时，y1；而当x＜0时，y1；若0＜a＜1，则当x＞0时，y1；而当x＜0时，y1．数学应用：(1)3x≥1；(2)0.2x＜1；(3)3x≥30.5；(4)0.2x＜25；(5)9x＞3x-2；(6)3×4x－2×6x≤0．例1．解下列不等式：数学建构：例2．说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图：(1)y=2x－2(2)y=2x＋2(3)y=2x－2(4)y=2x＋2注：(1)函数图象进行平移变换的