1.3.3《函数的最大(小)值与导数》课件

1.3.3函数的最大（小）值与导数第一章导数及其应用aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0问题1：函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数问题2：函数的极大（小）值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy◆函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x)（3）求方程f’(x)=0的根,找到临界点（4）解不等式并列成表格（5）求出极值问题3:求函数的极值的方法与步骤左正右负极大值，左负右正极小值xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6问题4:观察下列图形,你能找出函数的极值吗？135(),(),()fxfxfx观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的极大值.246(),(),()fxfxfx在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.问题1：这个函数f(x)在区间[a,b]上有极值吗？问题2：指出它的极值点有哪些，并分别说明是极大值点还是极小值点．问题3：f(x)在[a,b]上存在最值吗？你觉得它的最小值和最大值分别在哪里取得？问题4：你是如何得出最大（小）值的？观察下面一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)的图象．xX2oaX3bx1yy=f(x)如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？例如:已知函数，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值．4431)(3xxxf观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6),(bax］［bax,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值因此：该函数没有最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)思考：你能说出函数的极值与最值有什么区别与联系吗？(1)“最值”是整体概念，而“极值”是个局部概念．(2)从个数上看，一个函数在给定定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一，也可能没有．(3)若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．一般的如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。由上面函数f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.例1.已知函数,求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值．31()443fxxx'240,3fxxx解：'0,22(),fxxx令解得：或舍列表x(0.2)2(2,3)y′-0+y递减递增43(0)4(3)1ff又，314()43.33fxxx函数-4在0，上的最大值为4，最小值为-314()43.33fxxx函数-4在0，上的极小值为-(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.'21233,3fxxx解：1.求出所有导数为0的点；2.计算；3.比较确定最值。3()61233fxxx例2:求函数在，上的最大值与最小值.'0,22fxxx令解得：或(2)22(2)10(3)15,(3)3ffff又，，3()6123310.fxxx函数在，上的最大值为22，最小值为求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:.443xxy令,解得x=-1,0,1.0y当x变化时,的变化情况如下表:yy,x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4.例3.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,(1)求a的值；（2）求f(x)在[-2,2]上的最大值．2:(1)()612,()0,20fxxxfxxx解令解得或(2)40,(0),(2)8fafafa又40373aa由已知得解得(2)(1)()[2,2]3.fx由知在上的最大值为已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．:2,32,29abab答案或例4．设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t0)（1）求f(x)的最小值h(t)；（2）若h(t)-2t+m对(0t2)恒成立，求实数m的取值范围．23:(1)()()1(,0)fxtxtttxRt解33,()()1,()1xtfxfttthttt当时取最小值即32(2)()()(2)31,()3301()gthttmttmgtttt令由得=1或舍单调递减10单调递增极大值x()gt()gt(0,1)(1,2)1m()(0,2)(1)1gtgm在内有最大值()2(0,2)()0(0,2),10httmgtm在内恒成立等价于在内恒成立即等价于(1,)m的取值范围是322()233812.(1),;(2)0,3,(),.fxxaxbxcxxabxfxcc设函数在及时取得极值求的值若对于任意的都有成立求的取值范围:(1)3,4;(2)(,1)(9,)ab答案有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．maxmin()[()];()[()]fxfxfxfx一般地,恒成立恒成立