高中数学北师大版必修5第3章2《一元二次不等式》(第1课时-一元二次不等式的解法)ppt同步课件

不等式第三章§2一元二次不等式第三章第1课时一元二次不等式的解法课堂典例讲练2易混易错点睛3课时作业5课前自主预习1本节思维导图4课前自主预习城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局，以提高车速和通过能力．城市环线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标志．为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(m)，当车速为60km/h时，车距为1.44个车身长，在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？1.形如___________________或__________________的不等式(其中________)，叫作一元二次不等式．2．一般地，使某个一元二次不等式成立的________叫这个一元二次不等式的解．一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的________．ax2＋bx＋c0(≥0)ax2＋bx＋c0(≤0)a≠0x的值解集3．解一元二次不等式的一般步骤：当a0时，解形如ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：(1)____________________________________________；(2)____________________________________________；(3)____________________________________________．确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图由图像得出不等式的解集4．“三个二次”之间的关系：Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实根x1，x2且x1x2有两个相等的实根x1，x2且x1＝x2没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集_____________________________ax2＋bx＋c0(a0)的解集___________________________{x|xx1或xx2}{x|x≠－b2a}R{x|x1xx2}∅∅[答案]D1.不等式16x2＋8x＋1≤0的解集为()A．{x|x≠－14}B．{x|－14≤x≤14}C．∅D．{x|x＝－14}[解析]∵16x2＋8x＋1＝(4x＋1)2≥0，∴不等式16x2＋8x＋1≤0的解集为{x|x＝－14}，故选D.[答案]B2．不等式－3x2＋7x－20的解集为()A．{x|13x2}B．{x|x2或x13}C．{x|－2x－13}D．{x|x2}[解析]原不等式可化为3x2－7x＋20，即(3x－1)(x－2)0，∴x2或x13，故选B.3．(2015·山东理，1)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝()A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)[答案]C[解析]∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x＜4}＝{x|2＜x＜3}．故选C.4．不等式－x2≥x－2的解集为()A．{x|x≤－2或x≥1}B．{x|－2x1}C．{x|－2≤x≤1}D．∅[答案]C[解析]原不等式可化为x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，∴－2≤x≤1.故选C.5．设集合A＝{x|(x－1)23x－7}，则集合A∩Z中有________个元素．[答案]0[解析]∵不等式(x－1)23x－7可化为x2－5x＋80，即(x－52)2＋740，∴A＝∅，故A∩Z中没有元素．课堂典例讲练解下列不等式：(1)2x2－3x－20；(2)－3x2＋6x2.[分析]先求相应方程的根，然后根据相应函数的图像，观察得出不等式的解集．一元二次不等式的解法[解析](1)方程2x2－3x－2＝0的两根为x1＝－12，x2＝2.函数y＝2x2－3x－2的图像是开口向上的抛物线，图像与x轴有两个交点为－12，0和(2,0)，如图所示．观察图像可得原不等式的解集为{x|x－12或x2}．(2)原不等式可化为3x2－6x＋20，方程3x2－6x＋2＝0的两根为x1＝1－33，x2＝1＋33，函数y＝3x2－6x＋2的图像是开口向上的抛物线，图像与x轴的两个交点为1－33，0和1＋33，0，如图所示．观察图像可得原不等式的解集是{x|1－33x1＋33}．[方法总结]解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．且一端为零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．解下列不等式：(1)4x2－4x＋1≤0；(2)x2－2x＋20.[解析](1)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12，函数y＝4x2－4x＋1是开口向上的抛物线(如图1)，所以原不等式的解集是{x|x＝12}．(2)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2是开口向上的抛物线(如图(2))，所以原不等式解集为R.三个二次之间的关系若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－13≤x≤2}，求不等式cx2＋bx＋a0的解集．[分析]一元二次不等式解集的端点值是相应的一元二次方程的根，据此，利用根与系数的关系可求得a、b、c的值，进而求解．也可以利用ca·ba的值整体代入，转化所求不等式进行求解．[解析]解法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－13≤x≤2}，知a0，又(－13)×2＝ca0，则c0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53.∴ba＝－53.又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式cx2＋bx＋a0化为(－23a)x2＋(－53a)x＋a0，即2ax2＋5ax－3a0.又∵a0，∴2x2＋5x－30⇔(2x－1)(x＋3)0.∴不等式cx2＋bx＋a0的解集为{x|－3x12}．解法二：∵原不等式的解集为{x|－13≤x≤2}．∴－13，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a0.由根与系数的关系得－13＋2＝－ba－13×2＝ca，即ba＝－53ca＝－23.由于a0，所以不等式cx2＋bx＋a0可化为：cax2＋bax＋10，即－23x2－53x＋10.即2x2＋5x－30⇔(2x－1)(x＋3)0.∴不等式cx2＋bx＋a0的解集为{x|－3x12}．[方法总结]一元二次不等式解集的端点恰好是其对应的一元二次方程的两根，也是与其对应的二次函数与x轴交点的横坐标．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2＋bx－10.[解析](1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得－12＋2＝－ba，－12×2＝2a.解得a＝－2，b＝3.(2)由(1)知，ax2＋bx－10化为－2x2＋3x－10，即2x2－3x＋10，解得12x1.∴不等式ax2＋bx－10的解集为{x|12x1}.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10(a∈R)．[分析]含参数的一元二次不等式的解法，首先应对二次项系数进行讨论，然后再比较两根的大小写出解集．含参数的一元二次不等式[解析]若a＝0，原不等式等价于－x＋10⇔x1；若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0⇔x1a或x1；若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0.(1)当1a＝1，即a＝1时，不等式x－1a(x－1)0无解；(2)当1a1，即0a1时，不等式x－1a(x－1)0的解集为x|1x1a；(3)当1a1，即a1时，不等式x－1a(x－1)0的解集为x|1ax1.综上，当a0时，原不等式的解集为x|x1a或x1；当a＝0时，原不等式的解集为x|x1；当0a1时，原不等式的解集为x|1x1a；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a1时，原不等式的解集为x|1ax1.[方法总结]当二次函数的二次项的系数含有参数时，首先考虑不等式是否为二次不等式，若是，再用因式分解求出方程的根，最后讨论两根的大小写出不等式的解集．若不能用因式分解求根，则要根据判别式来讨论方程是否有根．每一类参数对应的不等式的解都是原不等式的解的一种可能，它们之间是独立的，因而不能把不同参数下的解集求并集，这点一定要注意．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)0(a0)．[解析]由于a0，所以原不等式可化为(x－2)x－2a0，由2a＝2可得a＝1，当0a1时，解不等式可得x2或x2a；当a＝1时，解不等式得x∈R且x≠2；当a1时，解不等式得x2a或x2.综上所述，当0a1时，原不等式的解集为{x|x2a或x2}，当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠2}，当a1时，原不等式的解集为{x|x2或x2a}．易混易错点睛已知x1，x2是关于x的方程x2－(a－2)x＋(a2＋3a＋5)＝0的两个实根，求x21＋x22的最大值．[误解]由根与系数的关系，得x1＋x2＝a－2，x1x2＝a2＋3a＋5，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(a－2)2－2(a2＋3a＋5)＝－a2－10a－6＝－(a＋5)2＋19≤19，∴x21＋x22的最大值为19.[辨析]由于一元二次方程只是在判别式Δ≥0时才有两个实根，故a的取值范围有限制，本题没有考虑这一限制，会使x＋x的范围不准确．[正解]由Δ＝(a－2)2－4(a2＋3a＋5)≥0，得－4≤a≤－43.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(a＋5)2＋19，∴当a＝－4时，x21＋x22取最大值18.本节思维导图一元二次不等式的解法ax2＋bx＋c0a0，x1x2Δ0时，解集为{x|xx2或xx1}Δ＝0时，解集为{x|x≠－b2a}Δ0时，解集为Rax2＋bx＋c0a0，x1x2Δ0时，解集为{x|x1xx2}Δ＝0时，解集为∅Δ0时，解集为∅