最新初中数学几何综合题及答案

最新初中数学几何综合题及答案1、已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．解:（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴∠EDC=90°，∴∠ADF=∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE；（2）解：∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，∵△ADE∽△CDF，∴=，∴=，∵x、y均为正数，∴x=2y，∴BC=6y，CF=2y，在Rt△DFC中，∠DFC=90°，由勾股定理得：DF===2y，∴⊙O的面积为π•（DC）2=π•DC2=π（4y）2=4πy2，四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•2y=12y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：12y2=π：3．2、半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线L的同侧，⊙O与L相切于点F，DC在L上.（1）过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点.①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置．．．．，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围.解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°；②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE，∴=，∴OE2=OA•OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法二：在Rt△OAE中，cos∠EOA==，在Rt△EOB中，cos∠EOB==，∴=，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法三：∵OE⊥EB，EA⊥OB，∴由射影定理，得OE2=OA•OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；（2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=n（cm2），S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK==，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=π（cm2），∴π≤S扇形MON≤π．故答案为：30°．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？（2）求证：△ABG∽△BFE；（3）设AD=a，AB=b，BC=c①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．解：（1）不是．据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE＜ED，∴AE＜ED，故，点E不可以是AD的中点；（注：大致说出意思即可；反证法叙述也可）（2）方法一：证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，∵△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG，∴∠EBF=∠BEF，∴FE=FB，∴△FEB为等腰三角形．∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB，在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°﹣∠ABG）÷2，∠FBE=（180°﹣∠EFB）÷2，∴∠BAG=∠FBE，…5分∴△ABG∽△BFE，方法二：∠ABG=∠EFB（见方法一），证得两边对应成比例：，由此可得出结论．（3）①方法一：∵四边形EFCD为平行四边形，∴EF∥DC，证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，∴，即，∴a2+b2=ac；…8分方法二：如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形EFCD为平行四边形∴EF∥DC，∴∠C=∠EFB，∵△ABG∽△BFE，∴∠EFB=∠GBA，∴∠C=∠ABG，∵∠DAB=∠DHC=90°，∴△ABD∽△HCD，∴，∴，∴a2+b2=ac；方法三：证明△ABD∽△GFB，则有，∴，则有BF=，∵四边形EFCD为平行四边形，∴FC=ED=c﹣，∵ED∥BC，∴△EDG∽△FBG，∴，∴，∴a2+b2=ac；…8分方法一②：解关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0，得：a1=，a2=由题意，△=0，即c2﹣16=0，图1ZOYXCBAP1∵c＞0，∴c=4，∴a=2…10分∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；方法二：设关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0两根为a1，a2，a1+a2=c＞0，a1•a2=4＞0，∴a1＞0，a2＞0，…9分由题意，△=0，即c2﹣16=0，∵c＞0，∴c=4，∴a=2，…10分∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°．4、如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．解：(1看见垂足为Y（X）的一条垂线(或者∠ABC的平分线)即评1分，(2)①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点.如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1(不为∠ABC的顶点)，∵OX＝BOsin∠ABM,P1Z＝BP1sin∠ABM．当BP1＞BO时，P1Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点.如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，即这时的⊙P是符合题意的圆.第23题图2图1YXCBBCAA图2DECBAP图3DPBCA图4FEPCBA这时⊙P的面积就是S的最大值.∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴Rt△ABC∽Rt△APE，∴BCPEABPA.∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝5.设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x,PC＝PE，∴251xx，∴x＝522．②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC＝y，则152yy，∴y=512.（7分）21世纪教育网③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF＝z，则122zz，∴z=32.（8分）由①，②，③可知：∵5＞2，∴5＋2＞5＋1＞3，∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，(或者:∵x=522=25-4,y=512=2155,∴y-x=245490,∴yx.∵z-y=6457215320)∴522512322，（9分，没有过程直接得出酌情扣1分）∴z＞y＞x.∴⊙P的面积S的最大值为94.5、如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a,h,且是关于x的一元二次方程20mxnxk的两个实数根，设过D,E,F三点的⊙O的面积为OS๏,矩形PDEF的面积为PDEFS矩形。（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；（2）求OPDEFSS๏矩形的最小值；M（第23题）GOQEDFBCAPN（3）当OPDEFSS๏矩形的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m,n,k的取值是否有关？请说明理由。解：解法一：（1）据题意，∵a+h=mkhamn,.∴所求正方形与矩形的面积之比：haha2)(mknmkmn22)(,4,0422mknmkn由mkah知km,同号,0mk,442mkmkmkn即正方形与矩形的面积之比不小于4.（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.∴⊙O的面积为：2222()()244ODFDFSEFDE．矩形PDEF的面积：PDEFSEFDE矩形．∴面积之比：(),4OSEFDESDEEF矩形PDEF设,fDEEF1=()4OSfSf矩形PDEF222111=()()2241()........542ffffffff分21()0ff,,22)1(42ff图①ABCPDFE（供画图参考）图②ACB⊙⊙⊙1ff，即1f时（EF=DE）,OSS矩形PDEF的最小值为2（3）当OSS矩形PDEF的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝e，∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN=FP=e.由BC∥MQ,得：BM=AG=h.∵AQ∥BC,PF∥BC,∴AQ∥FP,∴△FBP∽△ABQ.∴FPBNAQBM,……9分∴heAQe.∴hAQ……10分mmknnAQ242……11分∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.（解题过程叙述基本清楚即可）[来源:Zxxk.Com]解法二：（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，∴ah＞０∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立.故，（a-h）２＝（a＋h）２－４ah≥０．∴（a＋h）２≥４ah，∴2()ahah≥４．（﹡）这就证得haha2)(≥４．（叙述基本明晰即可）（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为22xy.S⊙O=222()2xy…………4分,S矩形PDEF=xyOPDEFSS矩形=22()4xyxy=2)(42)2(4222xyyxxyxyyxyx由（1）（*），.2)24(42)(42xyyx.∴OPDEFSS矩形的最小值是22()4xyxy⊙⊙⊙⊙（3）当OSS矩形PDEF的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形.∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.∵△AGB∽△FEB，∴ABAGBFEF.∵△AQB∽△FPB,ABAQBFPF，∴ABAGBFEF=AQPF．而EF=PF，∴AG=AQ=h,∴AG=h＝242nnmkm,或者AG=h＝242nnmkm···