搜索
北京理工大学数学学院《常微分方程》小论文捕鱼业效益最大化的微分方程模型2012/12/18《常微分方程》课程小论文——捕鱼业效益最大化方程模型1捕鱼业效益最大化常微分方程模型摘要在将可持续发展作为基本国策的大背景下，像渔业这样的再生资源应该在持续稳产的前提下追求效益的最大化。本文考察一个渔场，首先建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论渔场的效益最大化问题，最后提出相应的优化方案及建议。关键字:渔场鱼量捕捞强度平衡点稳定条件效益一、问题分析如今人们大范围过度捕捞导致了渔业的日渐枯竭，近海资源已经被严重透支，到远洋争议海域捕鱼又充满了危险，近年不断有渔船被日韩海监船扣压，更有甚者，去年3月份与韩国海警爆发冲突，导致一人死亡，引发各种问题。然而怎样才能实现捕鱼业效益的最大化呢？应该如何控制捕捞强度才能实现效益的最大化？本文就这些问题进行了以下分析：①建立渔场鱼量x，捕捞强度E关于t的微分方程；②由上述微分方程组求出平衡点并分析其稳定性；③在稳定条件下求出渔场效益；④对其效益进行分析提出优化方案.二、模型假设：（1）在无捕捞条件下，渔场中的余量x(t)的增长服从logistic规律（即阻滞增长模型）；（2）单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系《常微分方程》课程小论文——捕鱼业效益最大化方程模型2数为E；（3）捕捞强度E(t)的变化率与利润成正比；（4）鱼的销售单价为常数p，单位捕捞率的费用为常数c；三、模型建立与求解1.在无捕捞条件下x(t)关于时间的微分方程𝐱̇(t)=𝐟(𝐱)=𝐫𝐱(𝟏−𝐱𝐍)……（1）r为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长量.2.捕捞情况下渔场鱼量满足的方程单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为捕捞强度，于是单位时间的捕捞量为：𝐡(𝐱)=𝐄𝐱……（2）根据以上假设并记F(x)=f(x)-h(x)得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程为：𝒙̇(𝒕)=𝑭(𝒙)=𝒓𝒙(𝟏−𝒙𝑵)−𝑬𝒙……（3）3.捕捞强度E(t)关于时间的微分方程𝐄̇(𝐭)=𝐤(𝐓−𝐒)……（4）k为比例常数，T为单位时间的收入，S为单位时间的支出.其中T=ph(x)=pEx,S=cE……（5）4.求平衡点并分析其稳定性我们并不需要解方程(3)和(4)以得到x(t)，E(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定此时的效益.接下来我们将求解方程(3)和(4)的平衡点并分析其稳定性.《常微分方程》课程小论文——捕鱼业效益最大化方程模型3{𝐱̇(𝐭)=𝐮(𝐱,𝐄)=𝐫𝐱(𝟏−𝐱𝐍)−𝐄𝐱𝐄̇(𝐭)=𝐯(𝐱,𝐄)=𝐤(𝐓−𝐒)……（6）将（5）式带入下面的代数方程组，{𝐮(𝐱,𝐄)=𝟎𝐯(𝐱,𝐄)=𝟎,解出平衡点为，（0,0），（N，0），（cp,r(1−cNp)）.稳定性分析：当x=0,E=0时，即渔场鱼量为0且捕捞强度为0，此种情况不具有分析意义；当x=N，E=0时，即渔场鱼量为环境最大容纳量，没有捕捞，同样，这种情况也不具有分析意义；当x=cp，E=r(1−cNp)时，由于（6）为非线性方程组，所以我们将采用线性近似的方法讨论此时的稳定性。所以，在P0（cp,r(1−cNp)）点将u(x,E)和v(x,E)作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程组{𝐮(𝐱,𝐄)=−𝐫𝐜𝐍𝐩(𝐱−𝐜𝐩)−𝐜𝐩(𝐄−𝐫(𝟏−𝐜𝐍𝐩))𝐯(𝐱,𝐄)=(𝐤𝐩𝐫−𝐤𝐜𝐫𝐍)(𝐱−𝐜𝐩)系数矩阵记为A=[−rcNp−cp(kpr−kcrN)0]，P=-tr[A]=rcNp，Q=detA=kcr(1−cNp).令P0,Q0,得pcN时，即售价大于成本时，P0为稳定点，此时E=r(1−cNp)，x=cp……（7）此时的持续产量h（x,E）=crp(1−cNp).5.效益分析设单位时间的利润为R=T-S=pEx-cE……（8）《常微分方程》课程小论文——捕鱼业效益最大化方程模型4在稳定条件下，以（7）带入（8）得，R=0.可见，在稳定条件下，单位时间的利润为0，即没有收益。所以说，在这种情况下，随着价格的上升和成本的下降，x会迅速减少，出现捕捞过度，效益越来越小，直至为0。上述的效益模型是以盲目捕捞（即开放式捕捞）为基础的，如在公海上无规则捕捞。可以看出，如果捕鱼业仅仅靠市场价格等调控，渔民所获得的利润将越来越微薄，并且生态环境由于过度捕捞也遭到很大的破坏，捕鱼业效益最大化根本得不到实现，相反在往效益最小化发展。为此，我们做了以下模型优化。四、模型优化我们不妨仿照私营渔场的有计划捕捞优化模型。所以，我们假设捕捞强度E为常量。令F(x)=rx(1−xN)−Ex=0得到两个平衡点x0=N(1−Er),x1=0……（9）不难算出𝐹(́𝑥0)=𝐸−𝑟，𝐹(́𝑥1)=𝑟−𝐸……（10）当x1=0时，渔场鱼量稳定在0，即没有鱼，显然不可能达到效益最大化，不予讨论；当x0=N(1−Er)时，若x0为稳定点，则Er，即只要适度捕捞，就可以使鱼量稳定在x0，从而获得持续产量h(x0)=Ex0.此时R(E)=T(E)-S(E)=-𝑝𝑁𝑟𝐸2+(𝑝𝑁−𝑐)𝐸……（11）所以，当𝐸𝑀=𝑟2(1−𝑐𝑝𝑁)时，有Rmax=(pN−c)24pN0将ME带入（9），得最大利润下的渔场稳定鱼量《常微分方程》课程小论文——捕鱼业效益最大化方程模型5𝑥𝑅=𝑁2+𝑐2𝑝由此可见，在E不变的情况下，鱼量稳定时可以达到效益最大化，即不仅渔场获得较高利润，生态系统也处于平衡状态，利于可持续发展。五、总结分析综上的分析可以看出，只任由市场对捕鱼业进行调控显然是行不通的，这样做得结果只有使捕鱼业走向灭亡。为了实现其可持续发展，我们可以仿照私营渔场的捕捞方式，控制捕鱼强度在一个常值，因为在这种情况下，可以使得捕捞量与鱼的增长量维持一个动态平衡，即维持环境中的鱼量在一恒值。为了实现这个，我们可以通过立法，控制网眼大小，每次出海捕鱼的船只数，每只船的捕鱼上限等等。因此，国家的宏观调控是必要的，只依靠市场来调解是不可取的。六、参考文献【1】丁同仁，李承治.常微分方程教程（第二版）北京：高等教育出版社，2004【2】姜启源等.数学模型（第三版）北京：高等教育出版社，2004