【精选习题】-第二章一阶微分方程的初等解法

第二章一阶微分方程的初等解法2-1已知xxdttfxf0,0,1)()(试求函数)(xf的一般表达式。解对方程xdttfxf01)()(，两边关于x求导得xxfdttfxf020)()()(，即0)()(1)(2xfxfxf，分离变量，可求得)(21)(Cxxf，代入原方程可得0C，从而)(xf的一般表达式为xxf21)(。评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来确定。2-2求具有性质)()(1)()()(sxtxsxtxstx的函数)(tx，已知)0(x存在。解由导数的定义可得ssxtxsxtxsxstxstxtxss)]()(1[)()()(lim)()(lim)(200ssxsxtxtxs)()()(1)(1lim20，显然可得0)0(x，故)](1[)0()0()(lim)](1[)(202txxsxsxtxtxs分离变量，再积分可得])0(tan[)(Ctxtx，再由0)0(x，知0C，从而])0(tan[)(txtx。评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。2-3若0),(),(yyxNxyxM，证明齐次方程0),(),(dyyxNdxyxM有积分因子),(),(1yxyNyxxM。证方法1用凑微分法求积分因子。我们有恒等式dyyxNdxyxM),(),()})(),(),(())(),(),({(21ydyxdxyyxNxyxMydyxdxyyxNxyxM而)ln(xydydyxdx，yxdydyxdxln，所以原方程变为0}ln)),(),(()ln()),(),({(21yxdyyxNxyxMxydyyxNxyxM。用yyxNxyxMyx),(),(1),(乘上式两边，得0ln),(),(),(),(21)ln(21yxdyyxNxyxMyyxNxyxMxyd，由于yyxNxyxMyyxNxyxM),(),(),(),(为零次齐次函数，故它可表成yx的某一函数，记为)(yxf，)(ln)()(),(),(),(),(lnyxFefyxfyyxNxyxMyyxNxyxMyx，原方程进一步可改写成0ln)(ln21ln21yxdyxFxyd，它为一个恰当方程，表明yyxNxyxMyx),(),(1),(为齐次方程的积分因子。方法2化为分离变量方程求积分因子。设),(),,(yxNyxM是m次齐次函数，则令uxy，udxxdudy，有),,1(),(),(uMxxuxMyxMm),,1(),(),(uNxxuxNyxNm将其代入原方程0),(),(dyyxNdxyxM中，得0}),1(]),1(),1({[duuxNdxuuNuMxm，可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子),(),(1)],1(),1([1),(1yxyNyxxMuuNuMxyxm，方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是),(),(1),(yxyNyxxMyx。方法3用定义求积分因子。由积分因子的定义，只需证明二元函数),(),(1),(yxyNyxxMyx满足xNyM)()(即可。为此，我们计算yyNxMMyM)()(])()([)(12MyyNxMyNxMyMyNxM][)(12NMyNyMyMyNyNxM，xyNxMNxN)()(])()([)(12NxyNxMyNxMxNyNxM][)(12NMxMxNxNxMyNxM，xNyM)()(2)()()(yNxMMNNMyMNNMxyyxx，由于),(),(yxNyxMdxdy为齐次方程，令)(xygNM显然)(1)(22MNNMNgxyxygxxx，)(11)(2yyyMNNMNgxxyg，故0)()()()()(222222gNxMgxyxyNgNxMgxyNgxxyNxNyM，因而是齐次方程的积分因子。评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程0),(),(dyyxNdxyxM，除了可以化为变量可分离方程以外，我们还可以采用本例中所得到的结果，很快寻找出一个积分因子),(),(1),(yxyNyxxMyx，将其转化为恰当方程来求解。2-4解方程331yxxydxdy。解由题得33yxxydydx，这是以x为未知函数和以y为自变量的迫努利方程，则有323yyxdydxx，令2xz，322yyzdydz，而yzdydz2的解为2~yeCz。采用常数变易法，令2)(~yeyCz代入322yzydydz中得CeeyyCyy222)(~，故212yCeyz，从而原方程的解为1)1(222yCeyx。评注：在微分方程中，变量x与y具有同等的地位，对同一个方程，既可以就y求解，也可以就x进行求解，如果方程),(yxfdxdy就y求解比较困难，可以尝试将原方程变化为),(1yxfdydx，然后就x进行求解，有时会取得意想不到的效果，参见典型习题2-15，4），和2-16，4）。2-5试导出方程0),(),(dyyxNdxyxM分别具有形为)(yx和)(xy的积分因子的充要条件。解根据判别准则（定理2.1），)(yx是方程0),(),(dyyxNdxyxM的积分因子的充要条件是xyxNyxμyyxMyxμ)],()([)],()([。则有yyxμMxyxμNxNyMyxμ)()())((，即)()()()())((yxdyxμdMyxdyxμdNxNyMyxμ，)()(1)()(yxfyxyxdyxdMNxNyM，因此方程具有形如)(yx的积分因子的充要条件是)(yxfMNxNyM。)(xy是方程0),(),(dyyxNdxyxM的积分因子的充要条件是xNxyμyMxyμ)()()()(即yxyμMxxyμNxNyMxyμ)()())(()()()())((xydxydxMyNxNyMxy，)()(1)()(xygxyxydxydxMyNxNyM，因此方程具有形如)(xy的积分因子的充要条件是)(xygxMyNxNyM。评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子，从而给出求积分因子的思路。2-6设),(yxf及yf连续，试证方程0),(dxyxfdy为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子。证必要性。若方程0),(dxyxfdy为线性方程，则方程可写为0))()((dxxQyxPdy，令1,))()((NxQyxPM，由题有yM连续，)(xPNxNyM，由定理2-2的结论1方程有积分因子dxxPe)(，仅依赖于x。充分性。设方程0),(dxyxfdy有仅依赖于x的积分因子)(x，即0),()()(dxyxfxdyx为恰当方程，有dxxdyyxfx)()),()((，dxxdyyxfx)()),()(，dxxdxyyxf)()(1),(，上式右端仅为x的函数，令其为)(xP，积分上式，得)()(),(xQyxPyxf，故该方程为线性方程。评注：一阶线性方程一般用常数变易法求解，此例给出了线性方程的又一种求解方法，即积分因子法。2-7设函数)(),(uguf连续、可微且)()(uguf，试证方程0)()(dyxyxgdxxyyf有积分因子1)])()([(xygxyfxy。证方法1用积分因子定义证明。令,)(xyyfM)(xyxgNxμNyμM)()(0)()()()()()(22gfggfgfggffgfgff，故该方程有积分因子1)])()([(xygxyfxy。方法2利用变量代换方法证明。令xyu，xdyydxdu，代入方程消掉一个变量x，有0)())((dyugyudyyuduuf，0))()(()(dyugufyuduuf，这是分离变量方程，只要给两端乘以因子1))]()(([ugufu就可分离变量，从而变为恰当方程。所以原方程的积分因子为1))]()(([xygxyfxy。评注：求积分因子时，注意整体变量代换。2-8假设方程0),(),(dyyxNdxyxM中的函数满足关系)()(yMgxNfxNyM，其中)(),(ygxf分别为x和y的连续函数，试证方程0),(),(dyyxNdxyxM有积分因子))()(exp(dyygdxxf。证由于0))()((])([])([)()()()()()()()()()()()(xNfyMgNMeexNfeNeyMgeMxNyMxydyygdxxfdyygdxxfdyygdxxfxdyygdxxfdyygdxxfy故))()(exp(dyygdxxf是方程0),(),(dyyxNdxyxM的积分因子。评注：给出了积分因子的一种构造方法。2-9设),(yxμ是方程0),(),(dyyxNdxyxM的积分因子，从而可得可微函数),(yxU，使得)(NdyMdxμdU。试证),(~yxμ也是方程的积分因子的充要条件是)(),(~Uμφyxμ，其中)(tφ是t的可微函数。证必要性。若),(~yxμ也是方程的积分因子，则存在可微函数),(~yxU，使得)(~~NdyMdxμUd，即有)(~)(~~NdyMdxμμμNdyMdxμUddUμμ~，则dUμμU~~，即U~是U的函数，当然dUUd~也是U的函数，且记为)(~UφdUUd，由于积分因子的可微性，)(Uφ是可微函数。由dUμμUd~~，则)(),(~Uμφyxμ。充分性。证明)(),(~Uμφyxμ是积分因子。为此将其乘以方程两端得0))((NdyMdxUμφ，0)]()[(NdyMdxμUφ，0)(dUUφ，0)(dUUφd。即存在二元可微函数),(~yxUdUUφ)(，使得0~))(,(~UdNdyMdxyxμ，故)(),(~Uμφyxμ是方程的积分因子。评注：这个结论告诉我们，方程的积分因子之间的关系。若知道一个积分因子，则可构造该方程积分因子的通式。在寻找方程的积分因子时，常用到此结论，可参见例2-5和例2-6。2-9设),(),,(21yxyx是方程0),(),(dyyxNdxyxM的两个积分因子，且21常数，求证C21是方程0),(),(dyyxNdxyxM的通解。证由于),(),,(21yxyx是方程0),(),(dyyxNdxyxM的两个积分因子，由定理2.2有)2,1)((ixNyMyMxNiii。同时，若21常数，则0)(21d，只要证明这个全微分沿方程的解恒为零即可，即有dxNMyxNMyxyxyxd])()[(1)),(),((12221122210)]()([1])()[(121212212221122dxxNyMμμxNyMμμμNdxμ